Insiemi Affini e l'esistenza di una matrice A(n-k)xn
Ciao a tutti, sto preparando l'esame di Ricerca operativa. Avrei bisogno di capire dov'è che il mio ragionamento è inesatto.
1) Stando la definizione di insieme affine " qualsiasi insieme tale che presi due punti la retta che li congiunge è tutta contenuta nell'insieme" deduco che in R2, un punto, ciascuna retta, e l'intero piano sono insiemi affini.
2) la dimensione di un insieme affine non è altro che la dimensione del sottospazio parallelo. Ragionando in R2:
- per il punto la dim è 0;
- per la retta la dimensione è 1;
- per il piano la dimensione è 2.
3) Un sottoinsieme M di Rn è un insieme affine di dimensione k maggiore o uguale a zero se e solo se esiste una matrice A appartenente a R(n-k)xn di rango n-k ed esiste un vettore b appartenente a R(n-k) tale che M={x appartenenti ad Rn tale che Ax=b}.
Ora il mio problema è con questa definizione. Sempre considerando R2:
- nel caso di una retta il ragionamento mi torna, nel senso che esiste una matrice A1x2 es. (a1 a2) di rango uno ed un vettore b appartenente a R tale che l'insieme M={x appartenenti ad Rn tale che Ax=b} è proprio l'insieme di punti della retta;
-nel caso del punto l'insieme M={x appartenenti ad Rn tale che Ax=b} non è altro che l'insieme delle x che soddisfano contemporaneamente l'equazione di due rette che si intersecano ovvero M non è altro che il punto di intersezione di queste due rette.
- il ragionamento non mi torna se considero come insieme affine il piano (esistenza di una matrice A0x2????). Come devo interpretare l'insieme M={x appartenenti ad Rn tale che Ax=b}?? ovvero una matrice A0x2?
1) Stando la definizione di insieme affine " qualsiasi insieme tale che presi due punti la retta che li congiunge è tutta contenuta nell'insieme" deduco che in R2, un punto, ciascuna retta, e l'intero piano sono insiemi affini.
2) la dimensione di un insieme affine non è altro che la dimensione del sottospazio parallelo. Ragionando in R2:
- per il punto la dim è 0;
- per la retta la dimensione è 1;
- per il piano la dimensione è 2.
3) Un sottoinsieme M di Rn è un insieme affine di dimensione k maggiore o uguale a zero se e solo se esiste una matrice A appartenente a R(n-k)xn di rango n-k ed esiste un vettore b appartenente a R(n-k) tale che M={x appartenenti ad Rn tale che Ax=b}.
Ora il mio problema è con questa definizione. Sempre considerando R2:
- nel caso di una retta il ragionamento mi torna, nel senso che esiste una matrice A1x2 es. (a1 a2) di rango uno ed un vettore b appartenente a R tale che l'insieme M={x appartenenti ad Rn tale che Ax=b} è proprio l'insieme di punti della retta;
-nel caso del punto l'insieme M={x appartenenti ad Rn tale che Ax=b} non è altro che l'insieme delle x che soddisfano contemporaneamente l'equazione di due rette che si intersecano ovvero M non è altro che il punto di intersezione di queste due rette.
- il ragionamento non mi torna se considero come insieme affine il piano (esistenza di una matrice A0x2????). Come devo interpretare l'insieme M={x appartenenti ad Rn tale che Ax=b}?? ovvero una matrice A0x2?
Risposte
Usa uno strumento appropriato per scrivere le formule, così com'è il tuo messaggio non è molto leggibile. Puoi usare ASCIIMathML oppure TeX. Qui le istruzioni.
Venendo al tuo problema, ti perdi in una questione di lana caprina (imho). Il piano $RR^2$ può contenere solo un piano affine, ovvero sé stesso, che avrà per equazione $0=0$. E' questa la maniera di interpretare le tue "matrici con dimensione nulla".
Venendo al tuo problema, ti perdi in una questione di lana caprina (imho). Il piano $RR^2$ può contenere solo un piano affine, ovvero sé stesso, che avrà per equazione $0=0$. E' questa la maniera di interpretare le tue "matrici con dimensione nulla".
Grazie per la dritta delle formule. La prox vola sarò più preciso. Per quanto riguarda la mia domanda, purtroppo ho svariati buchi nella mia "base" di matematica, tanto che vorrei chiederti se è corretto interpretare l'equaizone 0=0 come 0x+0y+0=0.
p.s. avrei un'altra domanda riguardante la definzione di cono convesso, mi secca però aprire un altro topic, e se cambiassi il titolo in "nozioni di geometria affine per l'esame di programmazione lineare" ?
p.s. avrei un'altra domanda riguardante la definzione di cono convesso, mi secca però aprire un altro topic, e se cambiassi il titolo in "nozioni di geometria affine per l'esame di programmazione lineare" ?
"nonchiedercilaparola":Per essere corretto è corretto, chiaramente. Lo sarebbe anche $0a + 0b + 0c + \cdots + 0z= 0$, se è per questo. Ciò che scrivi è sempre $0=0$. Ma sono casi talmente banali che ti sconsiglio di starci ancora a riflettere. Io cambierei la tua proposizione 3 così:
è corretto interpretare l'equaizone 0=0 come 0x+0y+0=0.
un sottoinsieme $M$ di $RR^n$, con $n>=1$, è un insieme affine di dimensione $k$, di dimensione compresa tra 0 e n-1, se e solo se esiste una matrice ...
In questa maniera hai escluso il caso della matrice con dimensione nulla. Ti devi ricordare che in $RR^n$ c'è un altro sottoinsieme affine oltre a quelli citati dalla proposizione 3 ed è $RR^n$ stesso, per il resto puoi stare tranquillo e dormire la notte.
p.s. avrei un'altra domanda riguardante la definzione di cono convesso, mi secca però aprire un altro topic, e se cambiassi il titolo in "nozioni di geometria affine per l'esame di programmazione lineare" ?Fai pure.
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