Insieme vuoto
rieccomi quà...stavolta sull'insieme vuoto
http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_vuoto
il link che c'è sopra è quello alla pagina di wikipedia dove si parla dell'insieme vuoto...in particolare alla voce proprietà si dice
questo significa che valgono contemporaneamente entrambe le cose segnate con l'asteriso? ma se l'insieme vuoto non ha elementi come facciamo a dire che per ogni suo elemento vale una certa proprietà? non è una contraddizione ammettere che siano vere entrambe le proposizioni segnate con l'asterisco?
http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_vuoto
il link che c'è sopra è quello alla pagina di wikipedia dove si parla dell'insieme vuoto...in particolare alla voce proprietà si dice
"Wikipedia":
data una proprietà qualunque:
* per ogni elemento di $\emptyset$ la proprietà è valida
* non esistono elementi di $\emptyset$ per cui la proprietà vale
questo significa che valgono contemporaneamente entrambe le cose segnate con l'asteriso? ma se l'insieme vuoto non ha elementi come facciamo a dire che per ogni suo elemento vale una certa proprietà? non è una contraddizione ammettere che siano vere entrambe le proposizioni segnate con l'asterisco?
Risposte
dato A insieme e B proposizione
diciamo che "per ogni elemento di A vale B" <=> ( $x in A => B$ vale per $x$)
Dalla logica sappiamo che "ex falso quod libet": da una premessa falsa, cioè, possiamo dedurre qualsiasi cosa (ad esempio la proposizione "se x appartiene all'insieme vuoto => gli asini volano" è vera - nota bene: non è detto che la conclusione "gli asini volano" sia vera, ma sicuramente è vera la proposizione composta).
Quindi la prop "$x in O/$ (è una premessa falsa) $=>$ B vale per x" è vera
Quindi è vero il primo dei tuoi asterischi..
L'altro mi sembra ovvio
diciamo che "per ogni elemento di A vale B" <=> ( $x in A => B$ vale per $x$)
Dalla logica sappiamo che "ex falso quod libet": da una premessa falsa, cioè, possiamo dedurre qualsiasi cosa (ad esempio la proposizione "se x appartiene all'insieme vuoto => gli asini volano" è vera - nota bene: non è detto che la conclusione "gli asini volano" sia vera, ma sicuramente è vera la proposizione composta).
Quindi la prop "$x in O/$ (è una premessa falsa) $=>$ B vale per x" è vera
Quindi è vero il primo dei tuoi asterischi..
L'altro mi sembra ovvio
mmm...ma l'essere vera di una delle due proposizioni con l'asterisco non implica l'essere falsa dell'altra?
ragionando in questo modo allora oltre alle proposizioni con l'asterisco e assieme a queste è anche vero che: per ogni elemento di $emptyset$ la proprietà B non vale
cioè si ha contemporaneamente che
1) per ogni elemento di $emptyset$ la proprietà B non vale
2) per ogni elemento di $emptyset$ la proprietà B vale (prima condizione con l'asterisco)
3) non esistono elementi di $emptyset$ per cui la porprietà B vale (seconda condizione con l'asterisco)
ma a me sembra che ciascuna delle tre escluda le altre due
ragionando in questo modo allora oltre alle proposizioni con l'asterisco e assieme a queste è anche vero che: per ogni elemento di $emptyset$ la proprietà B non vale
cioè si ha contemporaneamente che
1) per ogni elemento di $emptyset$ la proprietà B non vale
2) per ogni elemento di $emptyset$ la proprietà B vale (prima condizione con l'asterisco)
3) non esistono elementi di $emptyset$ per cui la porprietà B vale (seconda condizione con l'asterisco)
ma a me sembra che ciascuna delle tre escluda le altre due
attenzione: siano A e B proposizioni
se A è falsa allora "A=>B" è vera
cioè è vera la proposizione "A=>B" ma niente si sta dicendo sulla verità o falsità della B
semplicemente è vera la proposizione "A=>B"
quindi è vera la proposizione "se x appartiene all'insieme vuoto allora B è vera per x"
ed è anche vera la proposizione "se x appartiene all'insieme vuoto allora B non è vera per la x"
vedila come un artificio formale per "far quadrare i conti" nelle dimostrazioni
ESEMPIO: concorderai con me nel dire che per ogni $I$ insieme vale:
$O/ sub I"
equivalentemente (visto che $S sub T <=> (x in S => x in T)$ )
$ x in O/ => x in I$
la proposizione al rigo di sopra è vera in virtù del fatto che $ x in O/ $ è falsa (ex falso quod libet)
penso di aver risposto alle 1), 2)
la 3) se non ci credi:
ragioniamo per assurdo: supponiamo che esista x nell'insieme vuoto che verifica la proprietà
beh, è un assurdo che ci sia un elemento nell'insieme vuoto: contraddizione => è vera la 3)
se A è falsa allora "A=>B" è vera
cioè è vera la proposizione "A=>B" ma niente si sta dicendo sulla verità o falsità della B
semplicemente è vera la proposizione "A=>B"
quindi è vera la proposizione "se x appartiene all'insieme vuoto allora B è vera per x"
ed è anche vera la proposizione "se x appartiene all'insieme vuoto allora B non è vera per la x"
vedila come un artificio formale per "far quadrare i conti" nelle dimostrazioni
ESEMPIO: concorderai con me nel dire che per ogni $I$ insieme vale:
$O/ sub I"
equivalentemente (visto che $S sub T <=> (x in S => x in T)$ )
$ x in O/ => x in I$
la proposizione al rigo di sopra è vera in virtù del fatto che $ x in O/ $ è falsa (ex falso quod libet)
penso di aver risposto alle 1), 2)
la 3) se non ci credi:
ragioniamo per assurdo: supponiamo che esista x nell'insieme vuoto che verifica la proprietà
beh, è un assurdo che ci sia un elemento nell'insieme vuoto: contraddizione => è vera la 3)
quindi vediamo un poco:
poichè la premessa $x in emptyset$ è falsa allora la proposizione
"per ogni elemento $x in emptyset$ la proproietà B è vera"
e la proposizione
"per ogni elemento $x in emptyset$ la proprietà B è falsa"
sono entrambe vere
poi è pure vero che
"non esistono elementi $x in emptyset$ per i quali è vera la proprietà B"
giusto?
ma quello che non capisco io è come possano queste tre proposizioni essere tutte e tre contemporaneamente vere: cioè, ciascuna di queste tre proposizioni, se vera, non esclude le altre due rendendole false?
poichè la premessa $x in emptyset$ è falsa allora la proposizione
"per ogni elemento $x in emptyset$ la proproietà B è vera"
e la proposizione
"per ogni elemento $x in emptyset$ la proprietà B è falsa"
sono entrambe vere
poi è pure vero che
"non esistono elementi $x in emptyset$ per i quali è vera la proprietà B"
giusto?
ma quello che non capisco io è come possano queste tre proposizioni essere tutte e tre contemporaneamente vere: cioè, ciascuna di queste tre proposizioni, se vera, non esclude le altre due rendendole false?
$A \to B$ è falsa se e solo se $A$ è vera e $B$ falsa. Le prime due frasi sono vere, perché $A$ è falsa. L'ultima è vera perché è equivalente alla seconda.
Cioè $\neg \exists x A(x) \equiv \forall x \neg A(x)$.
Cioè $\neg \exists x A(x) \equiv \forall x \neg A(x)$.
magie dell'insieme vuoto..
Da wikipedia alla pagina da te linkata sopra:
Cioè l'insieme vuoto è l'unico insieme che verifica il fatto che: per ogni elemento al suo interno vale una proposizione e per ogni elemento al suo interno non vale la proposizione.
dimostrazione: sia $A$ un insieme
suppongo $x in A$: per x vale la B o non vale la B
suppongo che per x vale la B: allora $x in A$ and $B(x) vera$ contraddizione con il secondo rigo (non esistono elementi di A per cui la proprietà vale)
allora per x non vale la B: $x in B$ e $B(x) falsa$ contraddizione con il primo rigo (tutti gli elementi di A verificano B)
quindi concludi che $A=O/$
Da wikipedia alla pagina da te linkata sopra:
allo stesso modo, se per una qualche proprietà vale che:
per ogni elemento di A la proprietà è valida
non ci sono elementi di A per cui la proprietà vale
allora $A=O/$
Cioè l'insieme vuoto è l'unico insieme che verifica il fatto che: per ogni elemento al suo interno vale una proposizione e per ogni elemento al suo interno non vale la proposizione.
dimostrazione: sia $A$ un insieme
suppongo $x in A$: per x vale la B o non vale la B
suppongo che per x vale la B: allora $x in A$ and $B(x) vera$ contraddizione con il secondo rigo (non esistono elementi di A per cui la proprietà vale)
allora per x non vale la B: $x in B$ e $B(x) falsa$ contraddizione con il primo rigo (tutti gli elementi di A verificano B)
quindi concludi che $A=O/$
"WiZaRd":
ma quello che non capisco io è come possano queste tre proposizioni essere tutte e tre contemporaneamente vere: cioè, ciascuna di queste tre proposizioni, se vera, non esclude le altre due rendendole false?
Ciascuna esclude le altre due se e solo se l'insieme in questione non è vuoto
Essendo l'insieme in questione vuoto, non abbiamo questo problema.
quindi nell'insieme vuoto una stessa proprietà contemporaneamente vale e non vale?
"Martino":
[quote="WiZaRd"]ma quello che non capisco io è come possano queste tre proposizioni essere tutte e tre contemporaneamente vere: cioè, ciascuna di queste tre proposizioni, se vera, non esclude le altre due rendendole false?
Ciascuna esclude le altre due se e solo se l'insieme in questione non è vuoto
Essendo l'insieme in questione vuoto, non abbiamo questo problema.[/quote]
No, le ultime frasi da lui scritte sono equivalenti. La prima esclude le altre due e viceversa, se l'insieme non è vuoto.
edit: sì, wizard, è proprio quello che si sta dicendo.
ok....ringrazio tutti per i chiarimenti...come sempre siete disponibili e chiari
buona serata a tutti
buona serata a tutti
"TomSawyer":
No, le ultime frasi da lui scritte sono equivalenti. La prima esclude le altre due e viceversa, se l'insieme non è vuoto.
Hai ragione.
If $x \ne x$, then Santa exists... 
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