Insieme semplicemente connesso, omotopia
Salve! Ho capito che un insieme per essere semplicemente connesso è necessario che per ogni una curva di Jordan (circuito) contenuta nell'insieme, l'interno della curva deve essere contenuto nell'insieme, quindi esso non ha buchi.
Mentre utilizzando una formulazione più matematica si potrebbe dire che l'insieme è connesso se ogni curva di Jordan nell'insieme è omotopia nell'nsieme a un punto.
Concettualmente ho capito che questo vuol dire che tale curva può essere contratta in un punto senza uscire dall'insieme, però non ho in mente cosa vuole dire che due curve sono omotope.
Grazie mille
Mentre utilizzando una formulazione più matematica si potrebbe dire che l'insieme è connesso se ogni curva di Jordan nell'insieme è omotopia nell'nsieme a un punto.
Concettualmente ho capito che questo vuol dire che tale curva può essere contratta in un punto senza uscire dall'insieme, però non ho in mente cosa vuole dire che due curve sono omotope.
Grazie mille
Risposte
In termini molto intuitivi un'omotopia di cammini è una deformazione continua di cammini. Ti consiglio di reperire la definizione di omotopia su un bel libro di Topologia; ad esempio il Munkres.
Si devo reperire una definizione precisa, però non sono sicuro di aver capito quando due curve in un insieme posso essere definite omotope a livello intuitivo.
Grazie mille
Grazie mille
L'esempio più scemo e intuitivo che mi viene in mente è la corona circolare: le circonferenze concentriche sono omotòpe? Intuiviamente come applichi la definizione?
...e comunque il Munkres va benissimo come riferimento bibliografico, altrimenti vi è il recente libro di Manetti!
...e comunque il Munkres va benissimo come riferimento bibliografico, altrimenti vi è il recente libro di Manetti!
no la corona non è semplicemente connessa perché esisterà almeno un circuito contenuto nella medesima, per il quale tutto il suo interno non si trovi nella corona?
Due cose:
a) non hai risposto alle domande che ti ho poste
, in quanto
b) se ho interpretato correttamente la tua risposta: sì
a) non hai risposto alle domande che ti ho poste
, in quanto "smaug":
...non sono sicuro di aver capito quando due curve in un insieme posso essere definite omotope a livello intuitivo...
"j18eos":
...le circonferenze concentriche sono omotòpe? Intuiviamente come applichi la definizione?...
b) se ho interpretato correttamente la tua risposta: sì
grazie 
Prego, ma la domanda che ti ho posto? 
vero! si le circonferenze concentriche sono omotope perchè posso contrarle con continuità e ridurle quanto voglio fino a coincidere con circonferenze più piccole...?
Fai l'esercizio concretamente. Considera la corona circolare $1 < |z| < 2$ e costruisci materialmente l'omotopia (ormai dovresti aver reperito la definizione) per far vedere che $|z| = 2$ è omotopa a $|z| = 1$.
Ricordiamoci tutti che l'omotopia si riferisce alle applicazioni e non ai sottoinsiemi.
L'esercizio proposto da Seneca consiste nel mostrare l'omotopia tra le applicazioni continue \(f,g\,\colon [0,1] \to \{1 \leq |z| \leq 2\}\) definite da \(f(t) = 2e^{2\pi i t}\) e \(g(t) = e^{2\pi i t}\).
L'esercizio proposto da Seneca consiste nel mostrare l'omotopia tra le applicazioni continue \(f,g\,\colon [0,1] \to \{1 \leq |z| \leq 2\}\) definite da \(f(t) = 2e^{2\pi i t}\) e \(g(t) = e^{2\pi i t}\).
Certamente, grazie della precisazione Elvis.
Seneca io non so come fare l'esercizio teorico anche perché sul mio libro non c'è la definizione che cercavo!
Beh puoi prender la definizione da wikipedia.en (in inglese dovrebbe essere corretta), altrimenti consulta in Munkres, oppure questa dispensa di Nacinovich (solo se hai gli attributi adatti)
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