Insieme Matrici che commutano è uno spazio vettoriale?
Ciao a tutti!
Ho davvero bisogno di delucidazioni per quanto riguarda questo esercizio, il prima possibile.
Abbiamo uno spazio vettoriale $X$ che è quello delle matrici reali di dimensione $n x n$ con $n \gt 1$. Dato un qualsiasi $B \in X$, sono definiti due insiemi:
$S_B = \{A \in X : BA = AB\}$ e $\hat{S}_B = \{A : A^2B = BA^2}$.
Devo dire se entrambi sono spazi vettoriali e se $S_B = \hat{S}_B$.
Per quanto riguarda il primo, penso che sia uno spazio vettoriale.
Questo perché rispetta le 3 condizioni per definire un insieme uno spazio vettoriale:
- il vettore nullo appartiene all'insieme;
- se $A_1 \in S_B, A_2 \in S_B$, allora $(A_1 + A_2)B = A_1B + A_2B = BA_1 + BA_2 = B(A_1 + A_2)$ quindi anche $A_1 + A_2 \in S_B$;
- preso $\lambda \in RR$, $\lambdaAB = \lambda BA = BA\lambda$ quindi anche $\lambda A \in S_B$.
I problemi iniziano considerando $\hat{S}_B$.
Sicuramente anche in questo caso il vettore nullo appartiene all'insieme così come qualsiasi elemento moltiplicato per uno scalare. Non sono però convinta che questo valga anche per la somma di due elementi in $\hat{S}_B$.
$(A_1 + A_2)^2B = (A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2)B = BA_1^2 + BA_2^2 * 2A_1A_2B$. Non è però, secondo me detto che $ A_1A_2B = BA_1A_2$.
Per quanto riguarda invece l'equivalenza tra i due insieme, penso che sia vero che se $A \in S_B$ allora $A \in \hat{S}_B$ ma non sono sicura del viceversa. Quindi $S_B \subset \hat{S}_B$. Infatti se $A \in S_B, A^2B = A A B = ABA =B A A = BA^2$. Non riesco però a mostrare il contrario!
Mi potete aiutare?
Ho davvero bisogno di delucidazioni per quanto riguarda questo esercizio, il prima possibile.
Abbiamo uno spazio vettoriale $X$ che è quello delle matrici reali di dimensione $n x n$ con $n \gt 1$. Dato un qualsiasi $B \in X$, sono definiti due insiemi:
$S_B = \{A \in X : BA = AB\}$ e $\hat{S}_B = \{A : A^2B = BA^2}$.
Devo dire se entrambi sono spazi vettoriali e se $S_B = \hat{S}_B$.
Per quanto riguarda il primo, penso che sia uno spazio vettoriale.
Questo perché rispetta le 3 condizioni per definire un insieme uno spazio vettoriale:
- il vettore nullo appartiene all'insieme;
- se $A_1 \in S_B, A_2 \in S_B$, allora $(A_1 + A_2)B = A_1B + A_2B = BA_1 + BA_2 = B(A_1 + A_2)$ quindi anche $A_1 + A_2 \in S_B$;
- preso $\lambda \in RR$, $\lambdaAB = \lambda BA = BA\lambda$ quindi anche $\lambda A \in S_B$.
I problemi iniziano considerando $\hat{S}_B$.
Sicuramente anche in questo caso il vettore nullo appartiene all'insieme così come qualsiasi elemento moltiplicato per uno scalare. Non sono però convinta che questo valga anche per la somma di due elementi in $\hat{S}_B$.
$(A_1 + A_2)^2B = (A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2)B = BA_1^2 + BA_2^2 * 2A_1A_2B$. Non è però, secondo me detto che $ A_1A_2B = BA_1A_2$.
Per quanto riguarda invece l'equivalenza tra i due insieme, penso che sia vero che se $A \in S_B$ allora $A \in \hat{S}_B$ ma non sono sicura del viceversa. Quindi $S_B \subset \hat{S}_B$. Infatti se $A \in S_B, A^2B = A A B = ABA =B A A = BA^2$. Non riesco però a mostrare il contrario!
Mi potete aiutare?
Risposte
Ho cercato in rete, ho capito che due matrici commutano quando sono entrambe diagonalizzabili, cioè quando esiste una matrice $M \in M^{nxn}$ invertibile tale che $A = MAM^-1$ e $B = MBM^-1$.
Di conseguenza, l'insieme $S_B$ è formato da tutte le matrici simili a $B$. Lo stesso discorso dovrebbe valere per $\hat{S}_B$, che dovrebbe coincidere quindi con $S_B$.
Entrambi però non dovrebbero essere spazi vettoriali, perché non è detto che la somma di due matrici diagonalizzabili sia diagonalizzabile. Vi torna?
Di conseguenza, l'insieme $S_B$ è formato da tutte le matrici simili a $B$. Lo stesso discorso dovrebbe valere per $\hat{S}_B$, che dovrebbe coincidere quindi con $S_B$.
Entrambi però non dovrebbero essere spazi vettoriali, perché non è detto che la somma di due matrici diagonalizzabili sia diagonalizzabile. Vi torna?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo