Insieme libero di vettori
Buongiorno,
Mi potreste spiegare perchè nell’insieme libero costituito, nel mio caso, da un solo vettore, esso viene definito linearmente indipendente se e solo se il coefficiente alpha=0 e il vettore non è nullo?
Ho provato a guardare su alcuni testi ma viene dato per scontato. C’é per caso una proprietà speciale dietro?
Grazie.
Mi potreste spiegare perchè nell’insieme libero costituito, nel mio caso, da un solo vettore, esso viene definito linearmente indipendente se e solo se il coefficiente alpha=0 e il vettore non è nullo?
Ho provato a guardare su alcuni testi ma viene dato per scontato. C’é per caso una proprietà speciale dietro?
Grazie.
Risposte
Il vettore nullo può essere l.i.?
Prova a ragionare sulla definizione di indipendenza lineare.
Prova a ragionare sulla definizione di indipendenza lineare.
La somma delle sue componenti è 0 (vettore nullo), inoltre il coefficiente è 0. Quindi direi di sì, sbaglio?
Siano $alpha_i in RR$; un insieme di vettori $v_1,...,v_n$, si dice l. i. se
che è equivalente a dire che nessun vettore può essere scritto come C. L. dei rimanenti.
Mentre se consideri
questa relazione è valida $AA alpha in RR$ ed in particolare anche $alphane0$.
$alpha_1v_1+...+alpha_nv_n=bar(0) hArr alpha_1=...=alpha_n=0$
che è equivalente a dire che nessun vettore può essere scritto come C. L. dei rimanenti.
Mentre se consideri
$alpha*bar(0)=bar(0)$
questa relazione è valida $AA alpha in RR$ ed in particolare anche $alphane0$.
"Magma":
Siano $alpha_i in RR$; un insieme di vettori $v_1,...,v_n$, si dice l. i. se
$alpha_1v_1+...+alpha_nv_n=bar(0) hArr alpha_1=...=alpha_n=0$
che è equivalente a dire che nessun vettore può essere scritto come C. L. dei rimanenti.
Mentre se consideri
$alpha*bar(0)=bar(0)$
questa relazione è valida $AA alpha in RR$ ed in particolare anche $alphane0$.
Ma quindi il prodotto tra il vettore e alpha può essere zero anche avendo solamente il vettore uguale a 0. Cioè se alpha è, per esempio 3 e ho un vettore nullo, questo è considerato linearmente dipendebte poiché il coefficiente non è zero. È sbagliato questo ultimo ragionamento?
Esattamente. Infatti c'è anche una proposizione che dice
infatti
con $bar(0) in V, 0inRR$
se $(vnebar(0))in V$, allora $v$ è l. .i.
infatti
$beta v=bar(0) hArr beta=0$
con $bar(0) in V, 0inRR$
Per cui partendo dalla definizione di lineramente indipendente, la quale afferma che i coefficienti devono essere tutti quanti nulli, un insieme formato solamente da v viene detto libero se e solo se il vettore v è linearmente indipendente e quindi (riportandomi alla definizione di l.i.) il suo coefficiente alpha è uguale a 0. È giusto?
Hai messo troppa carne sul fuoco.
Aggiungerei "Considerando una C. L. dei vettori presi in considerazione"
Con vettore libero si intende una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti, non c'entra nulla con la definizione di vettore l. i.; la quale ha una valenza generica per tutti i vettori di uno spazio vettoriale.
Che significa? Non capisco che intendi con "il suo coefficiente" . In ogni caso devono essere nulli i coefficienti della combinazione lineare dei vettori in esame.
"Marconi98":
[...]la definizione di lineramente indipendente, [...] afferma che i coefficienti devono essere tutti quanti nulli
Aggiungerei "Considerando una C. L. dei vettori presi in considerazione"
"Marconi98":
un insieme formato solamente da v viene detto libero se e solo se il vettore v è linearmente indipendente
Con vettore libero si intende una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti, non c'entra nulla con la definizione di vettore l. i.; la quale ha una valenza generica per tutti i vettori di uno spazio vettoriale.
"Marconi98":
quindi il suo coefficiente $alpha$ è uguale a $0$. È giusto?
Che significa? Non capisco che intendi con "il suo coefficiente" . In ogni caso devono essere nulli i coefficienti della combinazione lineare dei vettori in esame.
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