Insieme libero di vettori

Marconi981
Buongiorno,
Mi potreste spiegare perchè nell’insieme libero costituito, nel mio caso, da un solo vettore, esso viene definito linearmente indipendente se e solo se il coefficiente alpha=0 e il vettore non è nullo?
Ho provato a guardare su alcuni testi ma viene dato per scontato. C’é per caso una proprietà speciale dietro?
Grazie.

Risposte
Magma1
Il vettore nullo può essere l.i.?

Prova a ragionare sulla definizione di indipendenza lineare.

Marconi981
La somma delle sue componenti è 0 (vettore nullo), inoltre il coefficiente è 0. Quindi direi di sì, sbaglio?

Magma1
Siano $alpha_i in RR$; un insieme di vettori $v_1,...,v_n$, si dice l. i. se

$alpha_1v_1+...+alpha_nv_n=bar(0) hArr alpha_1=...=alpha_n=0$

che è equivalente a dire che nessun vettore può essere scritto come C. L. dei rimanenti.

Mentre se consideri
$alpha*bar(0)=bar(0)$

questa relazione è valida $AA alpha in RR$ ed in particolare anche $alphane0$.

Marconi981
"Magma":
Siano $alpha_i in RR$; un insieme di vettori $v_1,...,v_n$, si dice l. i. se

$alpha_1v_1+...+alpha_nv_n=bar(0) hArr alpha_1=...=alpha_n=0$

che è equivalente a dire che nessun vettore può essere scritto come C. L. dei rimanenti.

Mentre se consideri
$alpha*bar(0)=bar(0)$

questa relazione è valida $AA alpha in RR$ ed in particolare anche $alphane0$.


Ma quindi il prodotto tra il vettore e alpha può essere zero anche avendo solamente il vettore uguale a 0. Cioè se alpha è, per esempio 3 e ho un vettore nullo, questo è considerato linearmente dipendebte poiché il coefficiente non è zero. È sbagliato questo ultimo ragionamento?

Magma1
Esattamente. Infatti c'è anche una proposizione che dice

se $(vnebar(0))in V$, allora $v$ è l. .i.


infatti
$beta v=bar(0) hArr beta=0$


con $bar(0) in V, 0inRR$

Marconi981
Per cui partendo dalla definizione di lineramente indipendente, la quale afferma che i coefficienti devono essere tutti quanti nulli, un insieme formato solamente da v viene detto libero se e solo se il vettore v è linearmente indipendente e quindi (riportandomi alla definizione di l.i.) il suo coefficiente alpha è uguale a 0. È giusto?

Magma1
Hai messo troppa carne sul fuoco.

"Marconi98":
[...]la definizione di lineramente indipendente, [...] afferma che i coefficienti devono essere tutti quanti nulli

Aggiungerei "Considerando una C. L. dei vettori presi in considerazione"

"Marconi98":

un insieme formato solamente da v viene detto libero se e solo se il vettore v è linearmente indipendente

Con vettore libero si intende una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti, non c'entra nulla con la definizione di vettore l. i.; la quale ha una valenza generica per tutti i vettori di uno spazio vettoriale.

"Marconi98":

quindi il suo coefficiente $alpha$ è uguale a $0$. È giusto?

Che significa? Non capisco che intendi con "il suo coefficiente" . In ogni caso devono essere nulli i coefficienti della combinazione lineare dei vettori in esame.

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