Insieme infinito di generatori e isomorfismi
Salve a tutti, volevo un chiarimento su questi due esercizi..Spero che qualcuno possa aiutarmi 
1) Se in V abbiamo infiniti generatori, allora V non è finito dimensionale.
Sembra una domanda ovvia, ma mi è venuto un dubbio: siccome si parla di generatori e non di base, se noi abbiamo un insieme di generatori e vi aggiungiamo i generatori multipli dei primi, non possiamo ottenere infiniti generatori (essendo gli scalari infiniti)?
2) Se f e’ un isomorfismo tra V e W allora esistono due basi opportune in cui la matrice associata ad f e’ l’identita’.
Questo non so proprio come impostarlo...qualcuno può darmi una mano?
Ringrazio anticipatamente.
1) Se in V abbiamo infiniti generatori, allora V non è finito dimensionale.
Sembra una domanda ovvia, ma mi è venuto un dubbio: siccome si parla di generatori e non di base, se noi abbiamo un insieme di generatori e vi aggiungiamo i generatori multipli dei primi, non possiamo ottenere infiniti generatori (essendo gli scalari infiniti)?
2) Se f e’ un isomorfismo tra V e W allora esistono due basi opportune in cui la matrice associata ad f e’ l’identita’.
Questo non so proprio come impostarlo...qualcuno può darmi una mano?
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
La prima è falsa: l'intero spazio è, banalmente, un insieme di generatori per lo spazio stesso, ed esistono spazi vettoriali infiniti. La richiesta ha senso se al posto di generatori si mette elementi linearmente indipendenti.
Se \(\{ v_i\}\) è un base di \(V\), cosa puoi dire su \(\{ w_i\} = \{ fv_i \}\) ? Ogni tanto la soluzione è proprio sotto i propri occhi (ma non basta dirlo, devi dimostrare che la cosa funziona).
Al di là di questo, sia \(A\) è la matrice associata ad una particolare scelta di base. Siccome \(f\) è invertibile esiste \(A^{-1}\). Ora, ad A^{-1} è associato un cambio di basi in \(W\). La base generata da questo cambio di base è quella che cerchi.
Se \(\{ v_i\}\) è un base di \(V\), cosa puoi dire su \(\{ w_i\} = \{ fv_i \}\) ? Ogni tanto la soluzione è proprio sotto i propri occhi (ma non basta dirlo, devi dimostrare che la cosa funziona).
Al di là di questo, sia \(A\) è la matrice associata ad una particolare scelta di base. Siccome \(f\) è invertibile esiste \(A^{-1}\). Ora, ad A^{-1} è associato un cambio di basi in \(W\). La base generata da questo cambio di base è quella che cerchi.
Grazie per la risposta, tra l'altro ho anche dimenticato di dire che in entrambi gli esercizi bisognava dire se l'affermazione era vera o falsa e fornirne una spiegazione. Per quanto riguarda il secondo quesito, immaginavo ci fosse qualche ragionamento complicato sotto e invece era estremamente ovvio...Per una proprietà degli isomorfismi, essi mandano basi in basi, dunque se a v_i viene applicato l'isomorfismo essa si trasforma in w_i = f(v_i) base di W, giusto? Dunque l'affermazione è vera facendo questo ragionamento e le due basi opportune sono semplicemente una base di V e una di W?
Si è così.
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