Insieme in C con dilatazione / rotazione
In un esercizio ho la seguente informazione
A=[ Z appartiene a C : z + Z coniugato = Z*Zconiugato]
se pongo la sostituzione solita (x + iy) trovo che l'insieme
è rappresentabile come una circonferenza di eq
x^2+y^2-2x=0
e fin qui tutto ok
dopo l'esercizio mi dice che lo stesso insieme può essere scritto come:
A=[ z appartiene a C : |Z-1| = 1]
1) come mai?
poi mi da un'altro insieme
B=[ w appartiene a C : (1+i)*Z con Z appartenente a A]
Z è da quello che ho capito un elemento dell'insieme A sopracitato
il libro dice che questa operazione corrisponde ad un dilatazione
pari al raggio vettore(modulo) di (1+i) cioè sqrt(2) ==> che se non sbaglio
poi MOLTIPLICA per il raggio della circonf di A
e una rotazione pari a pi/4 che SOMMA all' argomento delle circonf di A
(essendo una circonferenza la rotazione lascia invariata la figura)
fin qui tutto sommato è comprensibile..
ma poi mi dice che il centro della nuova circonf (insieme B) e (1+i)
2) ...in base a che criterio lo stabilisce?!
Marvin
A=[ Z appartiene a C : z + Z coniugato = Z*Zconiugato]
se pongo la sostituzione solita (x + iy) trovo che l'insieme
è rappresentabile come una circonferenza di eq
x^2+y^2-2x=0
e fin qui tutto ok
dopo l'esercizio mi dice che lo stesso insieme può essere scritto come:
A=[ z appartiene a C : |Z-1| = 1]
1) come mai?
poi mi da un'altro insieme
B=[ w appartiene a C : (1+i)*Z con Z appartenente a A]
Z è da quello che ho capito un elemento dell'insieme A sopracitato
il libro dice che questa operazione corrisponde ad un dilatazione
pari al raggio vettore(modulo) di (1+i) cioè sqrt(2) ==> che se non sbaglio
poi MOLTIPLICA per il raggio della circonf di A
e una rotazione pari a pi/4 che SOMMA all' argomento delle circonf di A
(essendo una circonferenza la rotazione lascia invariata la figura)
fin qui tutto sommato è comprensibile..
ma poi mi dice che il centro della nuova circonf (insieme B) e (1+i)
2) ...in base a che criterio lo stabilisce?!
Marvin
Risposte
Io la vedo cosi':
1)|Z-1|=1--->|(x-1)+iy|=1--->sqrt[(x-1)^2+y^2]=1--->(x-1)^2+y^2=1
che e' proprio l'equazione della circonferenza x^2+y^2-2x=0
2) Il centro della circonferenza di cui sopra e' il punto
(1,0) ovvero,nel piano complesso il punto Z=1 e quindi ,per effetto
della dilatazione ,esso si porta nel punto Z=(1+i)*1=1+i che
nell'ordinario piano cartesiano e' il punto (1,1) [dilatato del punto
(1,0) di sqrt(2) e ruotato di Pi/4].
Archimede.
1)|Z-1|=1--->|(x-1)+iy|=1--->sqrt[(x-1)^2+y^2]=1--->(x-1)^2+y^2=1
che e' proprio l'equazione della circonferenza x^2+y^2-2x=0
2) Il centro della circonferenza di cui sopra e' il punto
(1,0) ovvero,nel piano complesso il punto Z=1 e quindi ,per effetto
della dilatazione ,esso si porta nel punto Z=(1+i)*1=1+i che
nell'ordinario piano cartesiano e' il punto (1,1) [dilatato del punto
(1,0) di sqrt(2) e ruotato di Pi/4].
Archimede.
per quanto riguarda (1) anche io avevo capito il senso di come passa da |Z-1| = 1
all'equazione della circonferenza
è solo che non capisco come dall'equazione della circonferenza passi alla forma |Z-1| = 1
all'equazione della circonferenza
è solo che non capisco come dall'equazione della circonferenza passi alla forma |Z-1| = 1
La formula |Z-1|=1 sta dicendo che i numeri Z hanno distanza costante uguale a 1 dal punto (1,0) (poiche' quell'1 tra moduli, numero reale, sottintende il numero complesso 1+0i). Quindi viene una circonferenza centrata in (1,0) e di raggio 1. Di questo uno se ne rende conto sviluppando i conti, ponendo z=x+iy.
Viceversa la circonferenza centrata in (1,0) e con raggio 1 e' l'insieme dei punti (x,y) tali che d((x,y),(1,0))=1. Ma se z e' complesso rappresentato da (x,y) (ovvero z=x+iy) allora sta scritto |z-1|=1.
Viceversa la circonferenza centrata in (1,0) e con raggio 1 e' l'insieme dei punti (x,y) tali che d((x,y),(1,0))=1. Ma se z e' complesso rappresentato da (x,y) (ovvero z=x+iy) allora sta scritto |z-1|=1.
"Luca.Lussardi":
La formula |Z-1|=1 sta dicendo che i numeri Z hanno distanza costante uguale a 1 dal punto (1,0) (poiche' quell'1 tra moduli, numero reale, sottintende il numero complesso 1+0i). Quindi viene una circonferenza centrata in (1,0) e di raggio 1. Di questo uno se ne rende conto sviluppando i conti, ponendo z=x+iy.
ok adesso è molto più chiaro..ad ogni modo però non capisco l'artificio matematico che usa per portarsi in quella formula..logicamente se sostituisco la solita x+iy mi viene l'equazione della circonferenza che almeno formalmente è abbastanza lontana dalla forma |Z-1|=1
c'è un algoritmo oppure è uno sviluppo che si fa "ad occhio"?
cmq potenti questi numeri complessi..li trovo affascinanti
peccato non saperli gestire bene...
Ammesso che la condizione che hai scritto tu fosse VERA non capisco la restrizione Z != 0 (intendi Z diverso da zero,giusto?)
in questo caso la Z dell'equazione è generico..non corrisponde a un numero complesso.
però il procedimento ha senso..l'uguaglianza da te scritta cmq non l'ho mai incontrata prima
l'unica che conosco (che però in questo caso non credo mi sia utile) è Z*Zcon = |Z|^2
Marvin
in questo caso la Z dell'equazione è generico..non corrisponde a un numero complesso.
però il procedimento ha senso..l'uguaglianza da te scritta cmq non l'ho mai incontrata prima
l'unica che conosco (che però in questo caso non credo mi sia utile) è Z*Zcon = |Z|^2
Marvin
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo