Insieme delle soluzioni sistema lineare omogeneo
"Le soluzioni di un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite formano un sottospazio vettoriale di $R^n$ se e solo se il sistema è omogeneo".Qualcuno sa dove posso trovare una dimostrazione?
Nei miei appunti ho un abozzo,ma è poco chiaro;per quanto riguarda la dim. dell'implicazione diretta tengo scritto che è ovvio,ma perchè?Forse perchè l'insieme delle soluzioni per essere un sottospazio deve ovviamente contenere il vettore nullo e solo nel caso di un sistema omogeneo sia ha una soluzione fatta praticamente di tutti zeri,ovvero un vettore nullo?Basta ciò?
Per quanto riguarda la dim. indiretta nei miei appunti tengo scritto che dato che per ipotesi il sistema è omogeneo esiste più di una soluzione e dunque supposto che $Y_1$ e $Y_2$ siano soluzioni del sistema omogeneo allora $A(αY_1+β Y_2)=αAY_1+βAY_2$.Dopo non tengo scritto più nulla.Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Nei miei appunti ho un abozzo,ma è poco chiaro;per quanto riguarda la dim. dell'implicazione diretta tengo scritto che è ovvio,ma perchè?Forse perchè l'insieme delle soluzioni per essere un sottospazio deve ovviamente contenere il vettore nullo e solo nel caso di un sistema omogeneo sia ha una soluzione fatta praticamente di tutti zeri,ovvero un vettore nullo?Basta ciò?
Per quanto riguarda la dim. indiretta nei miei appunti tengo scritto che dato che per ipotesi il sistema è omogeneo esiste più di una soluzione e dunque supposto che $Y_1$ e $Y_2$ siano soluzioni del sistema omogeneo allora $A(αY_1+β Y_2)=αAY_1+βAY_2$.Dopo non tengo scritto più nulla.Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Risposte
L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è di questo tipo:
${bbX in RR^n, A bbX=bb0}$, ove $A$ è una matrice $m x n$.
Per mostrare che è un sottospazio vettoriale di $RR^n$ basta vedere che:
$alpha_1 bbX + alpha_2 bbY$ appartiene all'insieme delle soluzioni se $bbX , bbY$ appartengono all'insieme delle soluzioni.
In effetti: $A(alpha_1 bbX + alpha_2 bbY)=alpha_1 A(bbX) + alpha_2 A(bbY)= bb0$ e quindi $alpha_1 bbX + alpha_2 bbY$ soddisfa la condizione richiesta per appartenere all'insieme.
Resta da vedere che l'insieme delle soluzioni di un sistema non omogeneo, cioè di questo tipo:
${bbX in RR^n, A bbX=bb B}$, ove $A$ è una matrice $m x n$ e $bbB in RR^n$ con $bbB !=bb0$,
non è un sottospazio vettoriale di $RR^n$. Basta osservare che lo $bb0$ non appartiene all'insieme e quindi non può essere uno spazio vettoriale (si ricordi che un sottospazio vettoriale è, preso da solo, uno spazio vettoriale).
Come al solito la chiarezza non abita in me comunque, meglio che niente...
${bbX in RR^n, A bbX=bb0}$, ove $A$ è una matrice $m x n$.
Per mostrare che è un sottospazio vettoriale di $RR^n$ basta vedere che:
$alpha_1 bbX + alpha_2 bbY$ appartiene all'insieme delle soluzioni se $bbX , bbY$ appartengono all'insieme delle soluzioni.
In effetti: $A(alpha_1 bbX + alpha_2 bbY)=alpha_1 A(bbX) + alpha_2 A(bbY)= bb0$ e quindi $alpha_1 bbX + alpha_2 bbY$ soddisfa la condizione richiesta per appartenere all'insieme.
Resta da vedere che l'insieme delle soluzioni di un sistema non omogeneo, cioè di questo tipo:
${bbX in RR^n, A bbX=bb B}$, ove $A$ è una matrice $m x n$ e $bbB in RR^n$ con $bbB !=bb0$,
non è un sottospazio vettoriale di $RR^n$. Basta osservare che lo $bb0$ non appartiene all'insieme e quindi non può essere uno spazio vettoriale (si ricordi che un sottospazio vettoriale è, preso da solo, uno spazio vettoriale).
Come al solito la chiarezza non abita in me comunque, meglio che niente...
"amel":
L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è di questo tipo:
${bbX in RR^n, A bbX=bb0}$, ove $A$ è una matrice $m x n$.
Per mostrare che è un sottospazio vettoriale di $RR^n$ basta vedere che:
$alpha_1 bbX + alpha_2 bbY$ appartiene all'insieme delle soluzioni se $bbX , bbY$ appartengono all'insieme delle soluzioni.
In effetti: $A(alpha_1 bbX + alpha_2 bbY)=alpha_1 A(bbX) + alpha_2 A(bbY)= bb0$ e quindi $alpha_1 bbX + alpha_2 bbY$ soddisfa la condizione richiesta per appartenere all'insieme.
Resta da vedere che l'insieme delle soluzioni di un sistema non omogeneo, cioè di questo tipo:
${bbX in RR^n, A bbX=bb B}$, ove $A$ è una matrice $m x n$ e $bbB in RR^n$ con $bbB !=bb0$,
non è un sottospazio vettoriale di $RR^n$. Basta osservare che lo $bb0$ non appartiene all'insieme e quindi non può essere uno spazio vettoriale (si ricordi che un sottospazio vettoriale è, preso da solo, uno spazio vettoriale).
Come al solito la chiarezza non abita in me comunque, meglio che niente...
ho capito,grazie mille
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