Insieme delle soluzioni sistema lineare

[Shika93]

Ho questo sistema in cui mi viene chiesto per quale k l'insieme delle soluzioni ha dimensione 2

$\{(x+ky+z+(k^2+1)t=k+1),(y+z+t=0),(x+ky+z=0):}$

Scritto il sistema come AX=B ho calcolato il rango di A=$\{(3, k!=\pm1),(2, k=\pm1):}$

la dimensione delle soluzioni la si calcola facendo $n-rnk(a)=2$. In questo caso qui n è 3, giusto? Perchè A è una matrice 3x4
quindi per nessun k ho rango=1.

Nella soluzione mi dice che succede per k=-1 ma con k=-1 la dimensione è 1 non 2.

Dico bene o avendo una matrice $A\inM_\RR(k,n)$ devo prendere il numero di colonne (n) per calcolare la dimensione dell'insieme delle soluzioni?

[ciampax]

$x,y,z,t$... io vedo $n=4$ incognite....

[Shika93]

Quindi n è il numero di incognite nel sistema? Che poi alla fine è il numero delle colonne di A, no?
Mi sfugge sta cosa qui.

[ciampax]

Ma tu ti sei posto la domanda di cosa significa che ci sono $\infty^{n-r}$ soluzioni? (Teorema di Rouché-Capelli)

[Shika93]

Rango di A= rango (A|B)

Cita

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[ciampax]

Quella è la condizione di risolubilità. Io stavo chiedendo una cosa diversa: se il rango è minore di $n$ (e quindi non c'è soluzione unica) cosa vuol dire che ci sono $\infty^{n-r}$ soluzioni? te lo sei mai chiesto?

[Shika93]

Sinceramente no e non sto capendo...

[ciampax]

Lo immaginavo. Diciamo che hai un sistema di $m$ equazioni in $n$ incognite (matrice rappresentativa di ordine $m\times n$). Vai ad applicare R-C e scopri che il rango è $r< n$: pertanto il teorema ti dice che ci sono $\infty^{n-r}$ soluzioni. Ora, ti metti a risolvere il tuo sistema e quello che scopri è che tra le $n$ incognite, devi necessariamente selezionarne $n-r$ che possano variare come parametro. Questo è il senso di quella espressione: ecco perché, inoltre, la dimensione dello spazio delle soluzioni coincide proprio con $n-r$, dal momento che tanti sono i parametri in base ai quali puoi selezionare la base dello spazio stesso.

Ora è chiaro?

[Shika93]

Decisamente meglio! Si ora è tutto chiaro! Grazie!