Insieme delle matrici che soddisfano delle condizioni

[thedarkhero]

Sia V spazio vettoriale su $QQ$ di dimensione 3 e sia $v={v_1,v_2,v_3}$ base di V. Sia $phi:V->V$.
Scrivere le matrici di tutte le applicazioni lineari $phi:V->V$ tali che:
1)$phi(2v_1+v_2)=2v_1+v_2$
2)$phi(v_1-v_2+v_3)=v_1-v_3$
3)$phi(v_1+2v_2-v_3)=v_1-v_2+v_3$

Innanzitutto si tratta di matrici 3x3 perchè sia il dominio che il codominio hanno dimensione 3.
$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$
Condizione 1)
$2(a,d,g)+(b,e,h)=(2,1,0)$
Condizione 2)
$(a,d,g)-(b,e,h)+(c,f,i)=(1,0,-1)$
Condizione 3)
$(a,d,g)+2(b,e,h)-(c,f,i)=(1,-1,1)$

Ho due domande:
L'impostazione risolutiva che ho dato all'esercizio è corretta?
Se si, visto che la mia soluzione richiederebbe di passare per un sistema di 9 equazioni, esiste un'alternativa più efficiente?

[cirasa]

L'impostazione è corretta anche se lunga e noiosa.
Io ho pensato ad una alternativa: i vettori $w_1=2v_1+v_2$, $w_2=v_1-v_2+v_3$ e $w_3=v_1+2v_2-v_3$ costituiscono una base di $V$ (perchè?)
Puoi determinare abbastanza agevolmente è la matrice associata a $\phi$ rispetto a questa base.
Poi, se ti va (anche se l'esercizio non richiede esplicitamente rispetto a quale base devi calcolare la matrice), puoi tornare indietro determinando la matrice associata a $\phi$ rispetto alla base iniziale $v_1,v_2,v_3$.

Dovrebbe essere un procedimento più veloce.