Insieme dei polinomi a coefficienti reali in R

[ramy1989]

Dato l' insieme formato dai polinomi a coefficienti reali in R di grado minore uguale di 3:
$a0+a1 x + a2 x^2 + a3 x^3$
Trovarne un sottospazio vettoriale
Dalla definizione segue che se a0+a1 x +a2 x^2 +a3 x^3 = v
w è un sottospazio di v se è un sottoinsieme di v e:
1)Se a e b sono elementi di w, allora a+b è ancora un elemento di w;
2)Se c è uno scalare, allora cw è ancora un elemento di w.

Mi chiedevo come si fa a dimostrare una cosa del genere, mi date qualche spunto?

[angus89]

Non ho capito cosa devi dimostrare, mi pare che l'esercizio chieda di esibire un sottospazio vettoriale dello spazio dei polinomi di grado al più 3.

Bè ad esempio puoi scegliere come sottospazio quello dei polinomi di grado al più 2 e verificare che sia un sottospazio, cioè che rispetti $1)$ e $2)$ scritti da te.

[ramy1989]

Non ho le idee molto chiare, in particolare come si fa a determinare che uno spazio vettoriale è un sottoinsieme di un altro spazio vettoriale?
Perchè ho provato a considerare ad esempio l' insieme w=a0 + a1 x
Se v=a0 +a1 x +a2 x^2 + a3 x^3
"A occhio" vedo che w è un sottoinsieme di v, ma non conosco una regola ferrea per determinare se un insieme è un sottoinsieme o no di un altro insieme.
Poi ho provato a porre a=a0 e b=a1 x
allora a+b = a0+a1 x che appartiene ancora a w
Però per quanto riguarda il prodotto per scalare, se c è uno scalare appartenente ad R, allora:
c w deve appartenere a w
c a0 + c a1 x deve appartenere a w, ma come faccio a sapere se appartiene a w o no?