Insieme Convesso?

[Fitzgalippo]

Ho un problema a capire questo esercizio, forse non mi è chiara la definizione di insieme convesso.

Dati gli insiemi $X1={x in RR^2: x1+x2<=1}$ e $X2={x in RR^2: -x1+x2<=-1}$, dire se l'insieme $X = X1 uu X2$ è convesso.

La teoria mi sembra chiara ma in pratica non so come fare. So che l'intersezione di due insiemi convessi è un insieme convesso ma non vale
lo stesso per l'unione. Come posso dimostrarlo?

[adaBTTLS1]

che cosa dovresti fare? semplicemente dire perché $X$ non è convesso?

[Fitzgalippo]

Dovrei svolgere l'esercizio, dire se x è convesso.

[gugo82]

Fare un disegnino non si usa più?
Quando ero a scuola mi piaceva assai disegnare... S'impara a vedere facilmente le cose.

[adaBTTLS1]

visto che non è convesso, dovrebbe bastare un controesempio.
basta prendere il punto $P(-1,1) in X_1$ e il punto $Q(3,1) in X_2$ e scoprire che il segmento che lo unisce non appartiene tutto ad $X$. ad esempio il punto $M(1,1)$ appartiene a $PQ$ ma non appartiene né ad $X_1$ né ad $X_2$, quindi non appartiene ad $X$.
non so come siete abituati a svolgere questo tipo di esercizi. spero di essere stata utile. ciao.

[Fitzgalippo]

Grazie, mi scuso per essere così stupido.

[adaBTTLS1]

prego... non continuare a dire ... "sciocchezze"

[gugo82]

"Fitzgalippo":Grazie, mi scuso per essere così stupido.

La questione non è essere stupido o non esserlo (infatti non credo tu lo sia; come ti è venuto in mente!?!).

Il primo passo nella soluzione di un problema è sempre, come diceva Polya, quella di farsi un'immagine di quello che sta succedendo (ammesso che ciò sia possibile, ovviamente... ).

Nel tuo caso fare un disegno ti avrebbe non solo aiutato, ma addirittura ti avrebbe risolto il problema: infatti la parte di piano $X_1\cup X_2$ è l'angolo concavo (come si diceva alle medie) disegnato qui sotto:
[asvg]xmin=-1;xmax=3;ymin=-2;ymax=2;
axes("labels","grid");
line([-1,2],[1,0]);
line([1,0],[3,2]);
stroke="dodgerblue";
strokewidth=3;
plot("sqrt(1-(x-1)^2)",1.707,2);
plot("sqrt(1-(x-1)^2)",0,0.293);
plot("-sqrt(1-(x-1)^2)",0,2);
text([-0.5,-0.5],"X1 U X2", below);[/asvg]
e si vede subito che tale insieme non è convesso perchè, come diceva adaBTTLS, il segmento congiungente i punti $P=(-1,1)$ e $Q=(3,1)$ non è tutto contenuto in $X_1\cup X_2$ pur essendo $P,Q \in X_1\cup X_2$ (contro la definizione di convessità, vedi figura che segue).
[asvg]xmin=-1;xmax=3;ymin=-2;ymax=2;
axes("labels","grid");
line([-1,2],[1,0]);
line([1,0],[3,2]);
var P=[-1,1];
var Q=[3,1];
stroke="red";
marker="dot";
strokewidth=3;
line(P,Q);
marker="none";
stroke="dodgerblue";
strokewidth=3;
plot("sqrt(1-(x-1)^2)",1.707,2);
plot("sqrt(1-(x-1)^2)",0,0.293);
plot("-sqrt(1-(x-1)^2)",0,2);
text([-0.5,-0.5],"X1 U X2", below);
text(P,"P",above);
text(Q,"Q",above);[/asvg]
Il disegno ti mostra pure che la soluzione data da adaBTTLS non è frutto di un "colpo di genio" o di un "trucco da prestigiatore" irripetibile da parte tua.
Essa viene da un'idea semplice fornita dall'osservazione di una rappresentazione grafica della situazione.