Insieme connesso
Come si dimostra che $E:{i^n+(n/(n+1))^(1/(n-1))}$ non è connesso? Concettualmente è evidente,ma per dimostrarlo?Devo dimostrare o che esiste un chiusoaperto proprio o non vuoto o che esiste una partizione non banale..ma come?
Risposte
vedendo così a occhio puoi notare che se $n$ è pari allora si ha che $E_1=\{i^{2k}+((2k)/(2k+1))^{1/{2k-1}}\}$ è costituito solo da numeri razionali, mentre $E_2=E-E_1$ cioè la parte dell'insieme costituito da $n$ dispari non ha elementi solo reali. $E_1nnE_2=O/$
prova a vedere se sono entrambi chiusi o aperti, oppure ho sbagliato l'ituizione, magari ci penso un attimo dopo... spero di non aver detto cavolate per aver detto troppo al volo conclusioni
edit: ovviamente tutto pensato in $CC$.
Ricorda che in $CC$ se un insieme è connesso, allora è connesso per archi. Puoi sfruttare questo fatto se vuoi...
prova a vedere se sono entrambi chiusi o aperti, oppure ho sbagliato l'ituizione, magari ci penso un attimo dopo... spero di non aver detto cavolate per aver detto troppo al volo conclusioni
edit: ovviamente tutto pensato in $CC$.
Ricorda che in $CC$ se un insieme è connesso, allora è connesso per archi. Puoi sfruttare questo fatto se vuoi...
il problema è che,secondo me, gli insiemi non sono ne chiusi ne aperti.. Non sono chiusi perchè non contengono i punti di accumulazione(che sono $+-1$ con $n=2k$ e $+-i$ con $n=2k+1$). E non sono nemmeno aperti,perchè son tutti punti isolati tranne i punti di accumulazione,e quindi per ogni punto isolato non esiste un intervallo aperto contenente il punto,il tutto contenuto nell'insieme..
comunque purtroppo le connessioni per archi non le abbiamo trattate.
ma se passi a $barE$ quindi $barE=barE_1UbarE_2$ in questo modo $barE_1nnbarE_2=O/$ e ai due insiemi aggiungi i punti accumulazione rispettivamente $+-1$ a $E_1$ e $+-i$ a $E_2$. Csì hai ottenuto i due chiusi cercati. Quindi $barE$ non è connesso e quindi a maggior ragione $E$ non lo è. Sbaglio?
Scusate, ma un insieme del piano fatto di punti isolati come fa ad essere connesso?
In effetti se un insieme $E\subseteq CC$ ha almeno un punto isolato allora $E$ non è connesso.
Invero, supponiamo che $E$ abbia $x_0$ come punto isolato: in tal caso $\{x_0\}$ è aperto in $E$ (infatti si ottiene come intersezione di $E$ con un'opportuno disco aperto di centro $x_0$) e pure $E\setminus \{ x_0\}$ è aperto in $E$ (infatti si ottiene intersecando $E$ con l'esterno di un opportuno disco chiuso di centro $x_0$); pertanto $\{ \{x_0\} , E\setminus \{x_0\} \}$ è una partizione aperta non banale di $E$, il quale non può essere connesso.
In effetti se un insieme $E\subseteq CC$ ha almeno un punto isolato allora $E$ non è connesso.
Invero, supponiamo che $E$ abbia $x_0$ come punto isolato: in tal caso $\{x_0\}$ è aperto in $E$ (infatti si ottiene come intersezione di $E$ con un'opportuno disco aperto di centro $x_0$) e pure $E\setminus \{ x_0\}$ è aperto in $E$ (infatti si ottiene intersecando $E$ con l'esterno di un opportuno disco chiuso di centro $x_0$); pertanto $\{ \{x_0\} , E\setminus \{x_0\} \}$ è una partizione aperta non banale di $E$, il quale non può essere connesso.
ok,si era concettualmente evidente che non era connesso,ma non sapevo come "dimostrarlo"..quindi posso sempre prendere come partizione un punto isolato e tutto l'insieme tranne quel punto? In effetti la loro unione genera tutto,la loro intersezione è vuota,il problema era se erano entrambi aperti o chiusi. Ho capito perchè ${x_0}$ è aperto,ma non capisco perchè lo sia anche $E\setminus\{x_0}$..
ok,ho capito,grazie mille!
Si poteva anche dire che ${x_0}$ è un chiusoaperto in E? poichè è aperto visto che è intersezione di E con una palla aperta di centro $x_0$ e raggio $epsilon$. Ma è anche chiuso in E poichè ${x_0}=B[x_0,sigma]nnE$. è corretto?
Sì, si può anche vedere la cosa in questo modo.
Grazie mille Gugo!
Prego, figurati.
Vorrei far notare che il ragionamento funziona in ogni spazio metrico (o metrizzabile).
Secondo voi vale anche in ogni spazio $T_2$? In altre parole, si può affermare che in uno spazio topologico $T_2$ (ossia di Hausdorff) ogni insieme con almeno un punto isolato è sconnesso ricalcando la dimostrazione precedente?
Vorrei far notare che il ragionamento funziona in ogni spazio metrico (o metrizzabile).
Secondo voi vale anche in ogni spazio $T_2$? In altre parole, si può affermare che in uno spazio topologico $T_2$ (ossia di Hausdorff) ogni insieme con almeno un punto isolato è sconnesso ricalcando la dimostrazione precedente?
penso di si,perchè punti distinti hanno intorni disgiunti. Non possiamo fare lo stesso ragionamento però,se non è uno spazio di Hausdorff.
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