Insieme connesso

[bernardo2]

Ciao
volevo sapere come si mostrava che in $RR^n$ un qualunque disco di centro qualsiasi $x_0$ e raggio qualsiasi $r$, con $r \in RR ,r>0$ , ovvero l'insieme ${x \in RR^n : |x-x_0| o meglio ancora se si riesce a mostrare che è convesso (connesso per segmenti)
ciao grazie

[alberto.cena]

Siano $x,y$ due punti del disco. Il segmento di estremi $x$ e $y$ è dato dalla combinazione affine:
$ \lambda x + (1-\lambda)y$ con $\lambda \in[0,1]$.
Devi provare che $|| \lambda x + (1-\lambda)y - x_0 ||< r$.
Scrivi $x_0=\lambda x_0 + (1-\lambda)x_0$ ed usa la disuguaglianza triangolare