Insieme chiuso

[maybe1]

perché dati:
X un sottoinsieme di Rn
v: $ Rn -> R$
a>0
allora A={ $ x in X $ | $ v(x) \ge a $ } è un chiuso?
C'è una dimostrazione? Se si che cosa dice?
Se non mi sbaglio mi sembra che il professore abbia detto che questo è un chiuso di X ma non di Rn... e ha nominato la topologia indotta...
E' possibile?Oppure ho capito io male?
Grazie a chi mi vorrà rispondere

[dissonance]

Intanto quello che hai scritto è falso. Prendi $n=1, \nu(x)={(2, x>0), (0, x<=0):}, a=1$ e ottieni $A=(0, +\infty)$ che non è chiuso perché $0$ aderisce ad $A$ ma non vi appartiene. Serve la continuità per rendere vero quanto detto, ed è una semplice applicazione della definizione di funzione continua tra spazi topologici: una funzione $f: X \to Y$ tra spazi topologici $X, Y$ è continua se e solo se per ogni $U \subset Y$ aperto, risulta che $f^(-1)(U)$ è un sottoinsieme aperto di $X$. E' equivalente la definizione in termini di chiusi: una funzione è continua se e solo se la controimmagine di un chiuso è un chiuso, ed è il tuo caso, perché $A=nu^(-1)[a, +\infty)$. Naturalmente c'è da dimostrare che questa definizione di continuità è equivalente a quella solita nel caso di funzioni tra spazi $RR^n$ e tra spazi metrici: è un esercizio super-classico.

[maybe1]

"dissonance":Intanto quello che hai scritto è falso. Prendi $n=1, \nu(x)={(2, x>0), (0, x<=0):}, a=1$ e ottieni $A=(0, +\infty)$ che non è chiuso perché $0$ aderisce ad $A$ ma non vi appartiene. Serve la continuità per rendere vero quanto detto, ed è una semplice applicazione della definizione di funzione continua tra spazi topologici: una funzione tra spazi topologici $X, Y$ è continua se e solo se per ogni $U \subset Y$ aperto, risulta che $f^(-1)(U)$ è un sottoinsieme aperto di $X$. E' equivalente la definizione in termini di chiusi: una funzione è continua se e solo se la controimmagine di un chiuso è un chiuso, ed è il tuo caso, perché $A=nu^(-1)[a, +\infty)$. Naturalmente c'è da dimostrare che questa definizione di continuità è equivalente a quella solita nel caso di funzioni tra spazi $RR^n$ e tra spazi metrici: è un esercizio super-classico.

GRAZIE! A dire il vero il professore l'aveva detto che v deve essere continua sono io che non l'ho scritto...
Quindi questo insieme A è un chiuso di $RR^n$ , perchè $v: RR^n \to R$ vero?
c'è anche un altro esercizio in cui invece $v: X \to R$ . Quindi in questo caso $A$ è un chiuso di $X$, ma posso dire che è anche un chiuso di $RR^n$, sapendo che $X$ è un aperto di $RR^n$ ? perchè poi interseca $A$ con $S$, un chiuso di $RR^n$ contenuto in $X$, e dice che otteniamo $K$ un chiuso di $RR^n$...

[dissonance]

No. Se $A$ è un aperto di $RR^n$ ed $F$ è un sottoinsieme chiuso di $A$ non è in generale vero che $F$ è un sottoinsieme chiuso di $RR^n$. Un esempio totalmente banale? Prendi $F=A$. Così ad esempio $(0, 1)$ è un chiuso di $(0, 1)$ ma certamente non un chiuso di $RR$.

[maybe1]

"dissonance":No. Se $A$ è un aperto di $RR^n$ ed $F$ è un sottoinsieme chiuso di $A$ non è in generale vero che $F$ è un sottoinsieme chiuso di $RR^n$. Un esempio totalmente banale? Prendi $F=A$. Così ad esempio $(0, 1)$ è un chiuso di $(0, 1)$ ma certamente non un chiuso di $RR$.

grazie mille davvero!