Insieme aperto in $RR^2$

[Vegastar]

Salve a tutti!
è imbarazzante ma non riesco ad estendere a più dimensioni la definizione di insieme aperto.
Penso di dover dimostrare che per ogni punto dell'insieme ammette almeno un intorno i cui punti appartengono tutti all'insieme. è giusto? Tuttavia, questo suppone la scelta di una metrica, giusto? Se i problemi non dicono nulla devo ricorrere a quella euclidea?
Ragionando così, l'insieme $RR^2-{x=0}$ è aperto, giusto?

[Paolo902]

Ciao.

"Vegastar":Penso di dover dimostrare che per ogni punto dell'insieme ammette almeno un intorno i cui punti appartengono tutti all'insieme.

Certo.

"Vegastar":Tuttavia, questo suppone la scelta di una metrica, giusto? Se i problemi non dicono nulla devo ricorrere a quella euclidea?

No, non presuppone la scelta di una metrica, ma solo di una topologia. E non è detto che una topologia sia necessariamente indotta da una metrica (cioè, esistono topologie non metrizzabili). Ad ogni modo, quello che voglio dire è che l'unica cosa che ti serve è il concetto di aperto. Infatti, un intorno di un punto in uno spazio topologico è per definizione ...

"Vegastar":Ragionando così, l'insieme $RR^2-{x=0}$ è aperto, giusto?

Naturalmente.

Buone forme differenziali

[Vegastar]

Grazie mille per l'aiuto!

[vict85]

"Vegastar":Ragionando così, l'insieme $RR^2-{x=0}$ è aperto, giusto?

Dipende dalla topologia scelta. Se è la classica (o quasi) metrica su $RR^n$ (tutte le metriche che generalmente usiamo su RR^n sono equivalenti quindi una vale l'altra) allora certamente è un aperto. Ma per esempio se si sceglie la topologia che contiene solamente $\emptyset, \{0\}, RR^2$ allora certo $RR^2-{x=0}$ non è aperto ma chiuso. Per altre topologie potrebbe essere ne l'una ne l'altra cosa.