Innvertibilità di una particolare matrice integrale
Ciao a tutti,
qualcuno può aiutarmi a capire questa dimostrazione?
Posto $GL(n,R)$ il gruppo delle matrici reali di dimensione nxn, sia $f:R \rightarrow GL(n,\mathbb{R})$ un sottogruppo ad un parametro, cioè una funzione continua che soddisfa $f(t+s)=f(t)f(s),\forall t,s \in \mathbb{R}$. Devo dimostrare che $f$ è differenziabile in $\mathbb{R}$. Una dimostrazione che ho trovato su un libro dice che, siccome f è continua esiste l'integrale $\int_{0}^{a}f(t)dt$ con $a$ positivo. Dunque
[tex]\int_{s}^{s+a}f(t)dt=\int_{0}^{a}f(t+s)dt=\int_{0}^{a}f(t)f(s)dt=f(s)\int_{0}^{a}f(t)dt[/tex]
L'integrale a sinistra è differenziabile rispetto a s. Dunque mostrando che $\int_{0}^{a}f(t)dt$ è invertibile per qualche $a$ si ha che $f(s)$ è differenziabile rispetto a s.
Il mio problema è mostrare che tale matrice è invertibile. La dimostrazione del libro segue dicendo che per la continuità di $f$ esiste un intervallo $[-a,a]$ in cui
[tex]\left\| f(t)-f(0) \right\| = \left\|f(t)-I\right\|<\frac{1}{2}[/tex]
e dunque
[tex]\left\|\frac{1}{a}\int_{0}^{a}f(t)dt-I\right\|=\left\|\frac{1}{a}\int_{0}^{a}\left(f(t)-I\right)dt\right\|\leq \frac{1}{2} < 1[/tex]
che dimostra che $\int_{0}^{a}f(t)dt$ è invertibile. Per quale motivo so deduce l'invertibilità da una condizione sulla norma della matrice
???
Grazie per l'aiuto!! Ciaoo
qualcuno può aiutarmi a capire questa dimostrazione?
Posto $GL(n,R)$ il gruppo delle matrici reali di dimensione nxn, sia $f:R \rightarrow GL(n,\mathbb{R})$ un sottogruppo ad un parametro, cioè una funzione continua che soddisfa $f(t+s)=f(t)f(s),\forall t,s \in \mathbb{R}$. Devo dimostrare che $f$ è differenziabile in $\mathbb{R}$. Una dimostrazione che ho trovato su un libro dice che, siccome f è continua esiste l'integrale $\int_{0}^{a}f(t)dt$ con $a$ positivo. Dunque
[tex]\int_{s}^{s+a}f(t)dt=\int_{0}^{a}f(t+s)dt=\int_{0}^{a}f(t)f(s)dt=f(s)\int_{0}^{a}f(t)dt[/tex]
L'integrale a sinistra è differenziabile rispetto a s. Dunque mostrando che $\int_{0}^{a}f(t)dt$ è invertibile per qualche $a$ si ha che $f(s)$ è differenziabile rispetto a s.
Il mio problema è mostrare che tale matrice è invertibile. La dimostrazione del libro segue dicendo che per la continuità di $f$ esiste un intervallo $[-a,a]$ in cui
[tex]\left\| f(t)-f(0) \right\| = \left\|f(t)-I\right\|<\frac{1}{2}[/tex]
e dunque
[tex]\left\|\frac{1}{a}\int_{0}^{a}f(t)dt-I\right\|=\left\|\frac{1}{a}\int_{0}^{a}\left(f(t)-I\right)dt\right\|\leq \frac{1}{2} < 1[/tex]
che dimostra che $\int_{0}^{a}f(t)dt$ è invertibile. Per quale motivo so deduce l'invertibilità da una condizione sulla norma della matrice
???Grazie per l'aiuto!! Ciaoo
Risposte
E' un teorema sulle matrici (per la verità caso particolare di un teorema di Analisi Funzionale sugli operatori limitati). Mi pare si chiami Teorema delle somme di Von Neumann. Funziona così: sia $A$ un matrice reale o complessa $n \times n$. Se $||A|| <1$ allora $I-A$ è invertibile e $(I-A)^(-1)=1+A+A^2+...=sum_{n=0}^infty A^n$ (esattamente come la familiare serie geometrica). Se conosci un minimo di teoria degli operatori, il teorema è valido se $A$ è un operatore limitato di uno spazio di Banach in sé.
Ti ringrazio moltissimo!! Mi serviva per la tesi e mi hai risparmiato un bel po' di tempo! Ho studiato la teoria degli operatori, ma non mi sono mai imbattuto in questo teorema! Ora vado a vedermelo per bene!! ciaoo 
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