Iniettività e suriettività di un'applicazione lineare
Salve a tutti,
ho trovato questa nel mio compito universitario:
se abbiamo un f: V -> W (lineare) con V di dim N e W di dim M
f(v)=radice quadrata di 2 * v,... (o forse era f(v)=f(radice quadrata di 2 * v).. non mi ricordo..!)
le risposte erano: è iniettiva, è sempre suriettiva, nessuna di queste, kerf=1 e l'ultima era se N=M allora Imf=W
Ho messo l'ultima, ma è una domanda che mi sembrava troppo semplice... proprio questo mi fa scaturire dubbi! Siccome l'ho data per scontata non ne sono più così sicuro!
Attendo risposte!
Grazie in anticipo
ho trovato questa nel mio compito universitario:
se abbiamo un f: V -> W (lineare) con V di dim N e W di dim M
f(v)=radice quadrata di 2 * v,... (o forse era f(v)=f(radice quadrata di 2 * v).. non mi ricordo..!)
le risposte erano: è iniettiva, è sempre suriettiva, nessuna di queste, kerf=1 e l'ultima era se N=M allora Imf=W
Ho messo l'ultima, ma è una domanda che mi sembrava troppo semplice... proprio questo mi fa scaturire dubbi! Siccome l'ho data per scontata non ne sono più così sicuro!
Attendo risposte!
Grazie in anticipo
Risposte
Mmm; se fosse
\[ f: \mathbf{v} \mapsto \sqrt{2} \mathbf{v} \]
allora avresti che \( V < W \), no?
L'applicazione mi sembra sia iniettiva: ogni vettore distinto non si sovrappone ad un altro con un semplice allungamento --o accorciamento; ma se prendendo due vettori distinti \( \mathbf{v}_1 \), \( \mathbf{v}_2 \), se mai fosse
\[ f( \mathbf{v}_1 ) = f( \mathbf{v}_2 )\]
avresti
\[ \sqrt{2} ( \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 ) = \mathbf{0}_V \Leftrightarrow \mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_2 \]
...il che e' assurdo.
La suriettivita' non ti e' garantita sempre; se \( m > n \), ed e' vero che \( V < W \), allora \( f \) ti fa rimanere dentro \( V \) (moltiplica per uno scalare un oggetto di uno spazio vettoriale ...) --i.e. ci sono vettori di \( W \) che non raggiungi mai.
Piu' precisamente; grazie all'ipotesi di iniettivita' sai che set di vettori lin.ind vengono mandati in set di vett. lin.ind; quindi se prendi una base di \( V \), le sue immagini saranno vettori linearmente indipendenti in \( W \), ma non in numero sufficiente a generare tutto \( W \).
L'iniettivita' di sopra ti garantisce poi che \( \operatorname{ker} (f) = \{ \mathbf{0} \} \) --i.e. non ha dimensione pari a \( 1 \).
Per le considerazioni fatte sopra, se \( m \equiv n \), allora \( W \equiv V \), i.e. non c'e' alcun vettore di \( W \) che non venga da un vettore di \( V \) --mi basta prendere \( 1/2 \, \mathbf{w} \) per avere il vettore di provenienza.
Oppure: per ipotesi di iniettivita' \( f \) manda vettori linearmente indipendenti in indipendenti, allora ne manda \( n \) di \( V \) in \( m = n \) di \( W \) --i.e. \( \operatorname{Im}(f) = W \).
Se invece l'applicazione fosse la seconda proposta, avresti
\[ f( \mathbf{v} ) = f( \sqrt{2} \mathbf{v} ) \equiv \sqrt{2} f( \mathbf{v} ) \Leftrightarrow ( \sqrt{2} -1 ) \, f( \mathbf{v} ) = \mathbf{0}_W \Leftrightarrow f( \mathbf{v} ) = \mathbf{0}_W \qquad \forall \mathbf{v} \in V \]
i.e. l'applicazione \( f \) e' l'applicazione nulla --manda ogni vettore nello zero di \( W \): chiaramente non inieittiva, ne' suriettiva; il \( \operatorname{ker}(f) \equiv V \) e per ogni \( n, \, m \) hai
\[ \operatorname{Im}(f) = \{ \mathbf{0}_W \} \subsetneq W \]
Quindi, nel caso l'applicazione fosse stata la seconda, avrei risposto nessuna delle precedenti.
Come ti sembra?
\[ f: \mathbf{v} \mapsto \sqrt{2} \mathbf{v} \]
allora avresti che \( V < W \), no?
L'applicazione mi sembra sia iniettiva: ogni vettore distinto non si sovrappone ad un altro con un semplice allungamento --o accorciamento; ma se prendendo due vettori distinti \( \mathbf{v}_1 \), \( \mathbf{v}_2 \), se mai fosse
\[ f( \mathbf{v}_1 ) = f( \mathbf{v}_2 )\]
avresti
\[ \sqrt{2} ( \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 ) = \mathbf{0}_V \Leftrightarrow \mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_2 \]
...il che e' assurdo.
La suriettivita' non ti e' garantita sempre; se \( m > n \), ed e' vero che \( V < W \), allora \( f \) ti fa rimanere dentro \( V \) (moltiplica per uno scalare un oggetto di uno spazio vettoriale ...) --i.e. ci sono vettori di \( W \) che non raggiungi mai.
Piu' precisamente; grazie all'ipotesi di iniettivita' sai che set di vettori lin.ind vengono mandati in set di vett. lin.ind; quindi se prendi una base di \( V \), le sue immagini saranno vettori linearmente indipendenti in \( W \), ma non in numero sufficiente a generare tutto \( W \).
L'iniettivita' di sopra ti garantisce poi che \( \operatorname{ker} (f) = \{ \mathbf{0} \} \) --i.e. non ha dimensione pari a \( 1 \).
Per le considerazioni fatte sopra, se \( m \equiv n \), allora \( W \equiv V \), i.e. non c'e' alcun vettore di \( W \) che non venga da un vettore di \( V \) --mi basta prendere \( 1/2 \, \mathbf{w} \) per avere il vettore di provenienza.
Oppure: per ipotesi di iniettivita' \( f \) manda vettori linearmente indipendenti in indipendenti, allora ne manda \( n \) di \( V \) in \( m = n \) di \( W \) --i.e. \( \operatorname{Im}(f) = W \).
Se invece l'applicazione fosse la seconda proposta, avresti
\[ f( \mathbf{v} ) = f( \sqrt{2} \mathbf{v} ) \equiv \sqrt{2} f( \mathbf{v} ) \Leftrightarrow ( \sqrt{2} -1 ) \, f( \mathbf{v} ) = \mathbf{0}_W \Leftrightarrow f( \mathbf{v} ) = \mathbf{0}_W \qquad \forall \mathbf{v} \in V \]
i.e. l'applicazione \( f \) e' l'applicazione nulla --manda ogni vettore nello zero di \( W \): chiaramente non inieittiva, ne' suriettiva; il \( \operatorname{ker}(f) \equiv V \) e per ogni \( n, \, m \) hai
\[ \operatorname{Im}(f) = \{ \mathbf{0}_W \} \subsetneq W \]
Quindi, nel caso l'applicazione fosse stata la seconda, avrei risposto nessuna delle precedenti.
Come ti sembra?
Tanto per cominciare: nel primo caso quindi anche te avresti risposto come me giusto? Ho capito tutto il tuo ragionamento ma non ho capito se alla fine avresti risposto Imf=W oppure che fosse iniettiva (dal tuo ragionamento deduco che tu avresti risposto come me)... In poche parole: spero che sia il primo caso! Sennò sono fregato 
comunque sia nel primo caso io ho ipotizzato che la matrice associata fosse la Id*radice quadra di 2... Ho ragionato in maniera giusta? Siccome la Id associata ad f fa si che f(v)=v... A questo punto spero proprio che sia la prima (mi pare di si perchè sennò non avrei ragionato così al compito... Per favore fammi sapere se avresti risposto come me alla prima grazie mille in anticipo
comunque sia nel primo caso io ho ipotizzato che la matrice associata fosse la Id*radice quadra di 2... Ho ragionato in maniera giusta? Siccome la Id associata ad f fa si che f(v)=v... A questo punto spero proprio che sia la prima (mi pare di si perchè sennò non avrei ragionato così al compito... Per favore fammi sapere se avresti risposto come me alla prima grazie mille in anticipo
"tello91":
Per favore fammi sapere se avresti risposto come me ...
Io avrei risposto anche l'ultima; ma mi pare che l'applicazione sia iniettiva. Non capisco a cosa ti serva vedere com'è fatta la matrice associata, però.
La matrice associata non serve, era solo per analizzare meglio la questone...
Scusa ma siccome le dim non sono specificate, non può MAI esistere il caso in cui W sia di dim inferiore a V? Non sono un esperto, sono solo uno studente che è alle prime armi di ingegneria informatica
Non riesco a capire quale sia la risposta esatta tra le 2... Per me Imf=W se n=m, mentre l'iniettivitá ci sarebbe nel caso in cui la dim V<=W... A questo punto siccome non sono stabilite le dim in partenza, potremmo pensare che l'unica risposta esatta sia Imf=W o sbaglio?
Scusa se ho detto cavolate!
Scusa ma siccome le dim non sono specificate, non può MAI esistere il caso in cui W sia di dim inferiore a V? Non sono un esperto, sono solo uno studente che è alle prime armi di ingegneria informatica
Non riesco a capire quale sia la risposta esatta tra le 2... Per me Imf=W se n=m, mentre l'iniettivitá ci sarebbe nel caso in cui la dim V<=W... A questo punto siccome non sono stabilite le dim in partenza, potremmo pensare che l'unica risposta esatta sia Imf=W o sbaglio?
Scusa se ho detto cavolate!
"tello91":
Non sono un esperto ...
Se e' per questo, lo stesso vale per me
Quindi prendi quello che ti dico con il beneficio del dubbio."tello91":
Scusa ma siccome le dim non sono specificate, non può MAI esistere il caso in cui W sia di dim inferiore a V?
La questione e' che \( W \) e' lo spazio d'arrivo, e \( \operatorname{Im}(f) \) e' un sottospazio di \( W \). Mi sembra che \( \operatorname{Im}(f) \equiv V \); e' per questo che \( V < W \).
"tello91":
Non riesco a capire quale sia la risposta esatta tra le 2...
Quello che penso io e' che siano corrette entrambe --e andavano crocettate entrambe. Tu sei sicuro il docente volesse una risposta?
"tello91":
mentre l'iniettivitá ci sarebbe nel caso in cui la dim V<=W...
A parte che sono piuttosto convinto che \( \operatorname{dim}(V) \le \operatorname{dim}(W) \), ma che sia iniettiva puoi vederlo anche --come dicevi tu-- usando la matrice associata \( \sqrt{2} \, I_n \):
\[ \sqrt{2} \, I_n \cdot \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \sqrt{2} x_1 \\ \vdots \\ \sqrt{2} x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0} \]
cioe' il nucleo e' il nucleo di un'applicazione iniettiva.
Sisi vuole solo una risposta! Le cose sono 2: o si confuso a scriverla, oppure c'è qualche oscuro motivo che fa si che la risposta esatta sia solo una... Oppure c'è una terza opzione: la domanda era formulata come nella mia seconda ipotesi e la risp è: nessuna di queste risposte sono corrette.. Ma questa la escluderei in quanto su 11 domande la risposta di altre 2 era questa. 3 risposte così su 11 non le ho mai viste nei suoi compiti! Comunque l'unica certezza che ho è che il prof è veramente competente, quindi nel caso in cui si sia sbagliato è un vero e proprio caso unico! Speriamo che questa sia la volta buona, o almeno spero che la risposta che vuole lui sia quella che ho messo io!
Per quanto riguarda Imf=V non credo sia corretta, credo che tu debba indicare che la dim dell'Imf=dim di V.
Hai detto bene prima, Imf è un sotto spazio di W.
Ho comunque capito cosa intendevi...
Correggimi se sbaglio.
Per quanto riguarda Imf=V non credo sia corretta, credo che tu debba indicare che la dim dell'Imf=dim di V.
Hai detto bene prima, Imf è un sotto spazio di W.
Ho comunque capito cosa intendevi...
Correggimi se sbaglio.
Io non ho capito una cosa. La mappa è questa? $f(v)=sqrt{2}v$? Se è questa allora $V$ e $W$ devono necessariamente avere la stessa dimensione (mandare un vettore in un suo multiplo scalare non cambia la dimensione dello spazio). Chiaramente, la mappa è iniettiva e quindi è suriettiva (in quanto lineare: è il solito nullità più rango).
Forse ho frainteso qualcosa io?
Forse ho frainteso qualcosa io?
"Paolo90":
La mappa è questa? $f(v)=sqrt{2}v$? Se è questa allora $V$ e $W$ devono necessariamente avere la stessa dimensione (mandare un vettore in un suo multiplo scalare non cambia la dimensione dello spazio).
Non sono \( V \) e \( \operatorname{Im}(f) \) ad avere la stessa dimensione, invece? In generale non ci sono vettori \( \mathbf{w} \in W \) che non stanno in \( V \)?
EDIT: per esempio, se fosse
\[ V = \{ \, { \begin{bmatrix} x \, , & y \, , & 0 \end{bmatrix} }^T : x, y \in \mathbb{K} \, \} \]
e \( W \equiv \mathbb{K}^3 \) (con \( \mathbf{v} \mapsto \sqrt{2} \mathbf{v} \) ), non avrei
\[ V \equiv \operatorname{Im}(f) \subsetneq W \]
?
Ribadisco che ragiono da studente alle prime armi.
Spero che tu abbia ragione, ma credo che V possa anche essere inferiore a W, in quanto qualunque vett di V può essere mandato nel corrispettivo vettore di W. Mentre poi ci saranno dei vettori di W tali che nessun vett di V possa avere come corrispettivo il vettore stesso di W.
Scusa per la spiegazione un pò confusionaria!
Spero davvero che le 2 dim siano uguali sempre ma ne dubito...
Mi potresti spiegare perchè hai pensato ciò?
Grazie mille
Spero che tu abbia ragione, ma credo che V possa anche essere inferiore a W, in quanto qualunque vett di V può essere mandato nel corrispettivo vettore di W. Mentre poi ci saranno dei vettori di W tali che nessun vett di V possa avere come corrispettivo il vettore stesso di W.
Scusa per la spiegazione un pò confusionaria!
Spero davvero che le 2 dim siano uguali sempre ma ne dubito...
Mi potresti spiegare perchè hai pensato ciò?
Grazie mille
La mappa che abbiamo davanti è l'analogo, in dimensione superiore, della cara vecchia retta per l'origine: $x \mapsto ax$, con $a \ne 0$.
In pratica prende un vettore e lo dilata tutto di $a$. Convincetevene scrivendo tutto in coordinate rispetto a una base fissata:
\[
f(x_1, \ldots , x_n) = (ax_1, \ldots , ax_n)
\]
Dovrebbe essere ovvio che questa mappa è iniettiva e suriettiva, lo si può vedere in molti modi (l'inettività si può fare con il kernel, oppure a mano dalla definizione; la surgettività la si può ricavare da nullità più rango, la si può fare a mano - chi sarà la controimmagine di un generico vettore?). In alternativa, potete pensarla in termini matriciali, la matrice associata - rispetto a una base fissata - è la matrice diagonale che ha sulla diagonale principale tutte $a$ - è necessariamente quadrata e poi, siccome $a\ne 0$ è invertibile!
L'esercizio è davvero singolare, soprattutto per questo discorso sulle dimensioni di $V$ e $W$. E' necessario che le dimensioni siano le stesse (intendo le dimensioni di source e target, non dell'immagine; è un discorso a priori, senza sapere che la mappa è surgettiva), altrimenti la mappa non è ben definita! Riesco a spiegarmi?
Comunque, anche le risposte non sono chiare: che vuol dire ker =1? Chi è 1? Il vettore \( (1, \ldots , 1)\)? Scritto così, io direi che le risposte giuste sono la 1,2 e l'ultima.
Comunque, se posso permettermi, @tello91: credo che tu abbia un po' le idee confuse, ti consiglio di rivederti un po' di teoria.
In pratica prende un vettore e lo dilata tutto di $a$. Convincetevene scrivendo tutto in coordinate rispetto a una base fissata:
\[
f(x_1, \ldots , x_n) = (ax_1, \ldots , ax_n)
\]
Dovrebbe essere ovvio che questa mappa è iniettiva e suriettiva, lo si può vedere in molti modi (l'inettività si può fare con il kernel, oppure a mano dalla definizione; la surgettività la si può ricavare da nullità più rango, la si può fare a mano - chi sarà la controimmagine di un generico vettore?). In alternativa, potete pensarla in termini matriciali, la matrice associata - rispetto a una base fissata - è la matrice diagonale che ha sulla diagonale principale tutte $a$ - è necessariamente quadrata e poi, siccome $a\ne 0$ è invertibile!
L'esercizio è davvero singolare, soprattutto per questo discorso sulle dimensioni di $V$ e $W$. E' necessario che le dimensioni siano le stesse (intendo le dimensioni di source e target, non dell'immagine; è un discorso a priori, senza sapere che la mappa è surgettiva), altrimenti la mappa non è ben definita! Riesco a spiegarmi?
Comunque, anche le risposte non sono chiare: che vuol dire ker =1? Chi è 1? Il vettore \( (1, \ldots , 1)\)? Scritto così, io direi che le risposte giuste sono la 1,2 e l'ultima.
Comunque, se posso permettermi, @tello91: credo che tu abbia un po' le idee confuse, ti consiglio di rivederti un po' di teoria.
"Paolo90":
La mappa che abbiamo davanti è l'analogo, in dimensione superiore, della cara vecchia retta per l'origine: $x \mapsto ax$, con $a \ne 0$.
In pratica prende un vettore e lo dilata tutto di $a$. Convincetevene scrivendo tutto in coordinate rispetto a una base fissata:
\[
f(x_1, \ldots , x_n) = (ax_1, \ldots , ax_n)
\]
Sono d'accordo; pero' se i vettori da cui parto --i vettori di \( V \)-- appartengono ad un sottospazio proprio di \( W \) applicando \( f \) non rimango sempre nel sottospazio?
"Paolo90":
E' necessario che le dimensioni siano le stesse (intendo le dimensioni di source e target, non dell'immagine; è un discorso a priori, senza sapere che la mappa è surgettiva), altrimenti la mappa non è ben definita! Riesco a spiegarmi?
Perche' non e' ben definita?
Davvero!, se \( W \) fosse lo spazio tridimensionale, e \( V \) un piano dello spazio che passa per l'origine, la dilatazione \( f \) non potrebbe essere ben definita da \( V \) a \( W \)? Io direi di si; ma source e target avrebbero dimensione diversa.
Dove sbaglio?[ot](Ti ho letto con attenzione, eh; non vorrei darti una brutta impressione: voglio solo capire meglio).[/ot]
Caro Giuseppe, so che sei in buona fede e mi spiace non riuscire a spiegarmi, sarà che sono un po' stanco. Ad ogni modo, la mappa è definita "esplicitamente", manda una $n$-pla di numeri reali in un'altra $n$-pla di numeri reali, perché manda $x \mapsto ax$. Quindi il target è un insieme di vettori che hanno necessariamente $n$ componenti, cioè il target ha dimensione $n$ (nota che non sto parlando di immagine).
Tu non puoi partire da $RR^2$ a andare a finire in $RR$ dandomi come mappa $(x,y) \mapsto a(x,y)$: semplicemente perché il vettore immagine non sta in $RR$!
Altro paio di maniche sarebbe dire: $\psi: (x,y) \mapsto (ax,ay,0)$. Allora questo vuol dire: prendi il piano euclideo, pensalo immerso in $RR^3$ come il piano $xy$ e considera la mappa che dilata tutto di $a$. Però io non scriverei mai $\psi(v) = av$ per denotare questa mappa, perché il $v$ a destra dell'uguale non è il $v$ a sinistra. Capisci ciò che intendo?
Tu non puoi partire da $RR^2$ a andare a finire in $RR$ dandomi come mappa $(x,y) \mapsto a(x,y)$: semplicemente perché il vettore immagine non sta in $RR$!
Altro paio di maniche sarebbe dire: $\psi: (x,y) \mapsto (ax,ay,0)$. Allora questo vuol dire: prendi il piano euclideo, pensalo immerso in $RR^3$ come il piano $xy$ e considera la mappa che dilata tutto di $a$. Però io non scriverei mai $\psi(v) = av$ per denotare questa mappa, perché il $v$ a destra dell'uguale non è il $v$ a sinistra. Capisci ciò che intendo?
Per Kerf=1 intende la dimensione
"Paolo90":
Ad ogni modo, la mappa è definita "esplicitamente", manda una $ n $-pla di numeri reali in un'altra $ n $-pla di numeri reali, perché manda $ x \mapsto ax $. Quindi il target è un insieme di vettori che hanno necessariamente $ n $ componenti, cioè il target ha dimensione $ n $ (nota che non sto parlando di immagine).
Ah-ha!
"Paolo90":
Altro paio di maniche sarebbe dire: $ \psi: (x,y) \mapsto (ax,ay,0) $.
E' la mappa di cui parlavo io, questa! Peccato lo facessi in prosa ...
"Paolo90":
Allora questo vuol dire: prendi il piano euclideo, pensalo immerso in $ RR^3 $ come il piano $ xy $ e considera la mappa che dilata tutto di $ a $. Però io non scriverei mai $ \psi(v) = av $ per denotare questa mappa, perché il $ v $ a destra dell'uguale non è il $ v $ a sinistra. Capisci ciò che intendo?
Perfettamente adesso.
Be', ti ringrazio parecchio; buona proseguimento di giornata!
@ giuscri: Prego, figurati.
@tello91: notazione piuttosto singolare... E' una tua abbreviazione o era scritto così sul compito? Mi sembra proprio strano che si scriva "ker f = 1" per intendere che la dimensione del nucleo è 1...
@tello91: notazione piuttosto singolare... E' una tua abbreviazione o era scritto così sul compito? Mi sembra proprio strano che si scriva "ker f = 1" per intendere che la dimensione del nucleo è 1...
non ricordo se era scritto: la dim di Kerf=1 o solo Kerf=1 ma sono sicuro che intenda la dimensione... Negli esercizi l'ho trovato spesso scritto così, o comunque con affianco la parola dimensione
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