Iniettività di un'Applicazione lineare con Parametro k
Sia $F: R^3->R^3$ l'applicazione definita da :
$F((2,3,1))=(K-2,k,k)$
$F((2,0,-2))=(3,-k,1)$
$F((0,1,2))=(1,0,3)$
dove $K$ è un parametro reale. Per quali valori di $K$ l'applicazione F è iniettiva ??? Per favore qualcuno mi può aiutare non so più cosa fare...
$F((2,3,1))=(K-2,k,k)$
$F((2,0,-2))=(3,-k,1)$
$F((0,1,2))=(1,0,3)$
dove $K$ è un parametro reale. Per quali valori di $K$ l'applicazione F è iniettiva ??? Per favore qualcuno mi può aiutare non so più cosa fare...
Risposte
Allora devi basarti sul fatto che affinché \( F: R^3 \rightarrow R^3\) sia iniettiva deve risultare che \(Ker(F)= {(0, 0, 0)} \) cioè deve essere \(dim(Ker(F))=0 \).
Si questo lo so... non so come procedere cosa devo considerare?? devo considerare e studiare la seguente matrice:
$((k-2,3,1),(k,-k,0),(k,1,3))$ ????
$((k-2,3,1),(k,-k,0),(k,1,3))$ ????
Io la matrice la calcolerei trovando prima la base canonica. Allora:
Devi trovare innanzitutto \(F(1, 0, 0) \) , \(F(0, 1, 0) \) e \(F(0, 0, 1) \). Per fare questo devi sfruttare la linearità dell'applicazione.
Per esempio puoi iniziare facendo così:
Ti calcoli \(F(0, 3, 3) \) da \(F((2, 3, 1)-(2, 0, -2)) \) che facendo valere la linearità diventa: \(F(2, 3, 1) - F(2, 0, -2) \), che equivale a scrivere \((k-2, k, k)-(3, -k, 1) = (k-5, 2k, k-1) \). Quindi \(F(0, 3, 3) = (k-5, 2k, k-1) \).
A questo punto puoi trovare \(F(0, 1, 1) \) poiché \( F(0, 3, 3) = 3F(0, 1, 1)\) da cui \(F(0, 1, 1) = \frac{1}{3} F(0, 3, 3)= \frac{1}{3}(k-5, 2k, k-1)=( \frac{k-5}{3} , \frac{2k}{3} , \frac{k-1}{3} )\)
Proseguendo in questo modo devi riuscire a calcolarti le immagini di \(F(1, 0, 0) \) , \(F(0, 1, 0) \) e \(F(0, 0, 1) \). A quel punto fai la matrice associata come l'hai fatta precedentemente, studi rango e determinante e sfrutti il teorema del rango per trovare i valori del parametro per cui l'applicazione lineare è iniettiva, quindi devi escludere i valori di \(k \) per i quali si annulla il determinante della matrice associata.
Spero di esserti stato utile nonostante non abbia potuto svolgere tutto l'esercizio. Ciao!
Devi trovare innanzitutto \(F(1, 0, 0) \) , \(F(0, 1, 0) \) e \(F(0, 0, 1) \). Per fare questo devi sfruttare la linearità dell'applicazione.
Per esempio puoi iniziare facendo così:
Ti calcoli \(F(0, 3, 3) \) da \(F((2, 3, 1)-(2, 0, -2)) \) che facendo valere la linearità diventa: \(F(2, 3, 1) - F(2, 0, -2) \), che equivale a scrivere \((k-2, k, k)-(3, -k, 1) = (k-5, 2k, k-1) \). Quindi \(F(0, 3, 3) = (k-5, 2k, k-1) \).
A questo punto puoi trovare \(F(0, 1, 1) \) poiché \( F(0, 3, 3) = 3F(0, 1, 1)\) da cui \(F(0, 1, 1) = \frac{1}{3} F(0, 3, 3)= \frac{1}{3}(k-5, 2k, k-1)=( \frac{k-5}{3} , \frac{2k}{3} , \frac{k-1}{3} )\)
Proseguendo in questo modo devi riuscire a calcolarti le immagini di \(F(1, 0, 0) \) , \(F(0, 1, 0) \) e \(F(0, 0, 1) \). A quel punto fai la matrice associata come l'hai fatta precedentemente, studi rango e determinante e sfrutti il teorema del rango per trovare i valori del parametro per cui l'applicazione lineare è iniettiva, quindi devi escludere i valori di \(k \) per i quali si annulla il determinante della matrice associata.
Spero di esserti stato utile nonostante non abbia potuto svolgere tutto l'esercizio. Ciao!
Si grazie mille
@Giovanni: ti faccio presente che se dimostri che i tre vettori su cui si calcolano le immagini dell'applicazione sono una base (linearmente indipendenti) allora, detta tale base $B$ e indicata con $E$ quella canonica, la matrice scritta da Nik è la rappresentazione di $F$ relativa alle due basi date, per cui si può usare benissimo anche quella.
In realtà bisognerebbe dimostrare che sono linearmente indipendenti con il sistema vettoriale poi dire che essendo vettori indipendenti \(\in R^3 \) allora sono anche generatori di \(R^3 \) (c'è un lemma che lo dimostra) e infine affermare che per questo sono una base di \(R^3 \). Quindi sì, fare la matrice associata nelle due basi come dici tu va bene ma richiede delle dimostrazioni all'inizio e l'utilizzo di un lemma che Nik23 potrebbe aver non fatto. In matematica molti esercizi possono essere svolti in diversi modi e dipende dagli strumenti che si hanno a disposizione. Io ne ho proposto uno abbastanza calcoloso ma credo giusto, te invece ne hai proposto uno più veloce ma applicativo di alcuni risultati teorici. Grazie comunque per aver migliorato la mia risposta! 
"Giovanni D.L.":
In realtà bisognerebbe dimostrare che sono linearmente indipendenti con il sistema vettoriale poi dire che essendo vettori indipendenti \(\in R^3 \) allora sono anche generatori di \(R^3 \) (c'è un lemma che lo dimostra) e infine affermare che per questo sono una base di \(R^3 \). Quindi sì, fare la matrice associata nelle due basi come dici tu va bene ma richiede delle dimostrazioni all'inizio e l'utilizzo di un lemma che Nik23 potrebbe aver non fatto. In matematica molti esercizi possono essere svolti in diversi modi e dipende dagli strumenti che si hanno a disposizione. Io ne ho proposto uno abbastanza calcoloso ma credo giusto, te invece ne hai proposto uno più veloce ma applicativo di alcuni risultati teorici. Grazie comunque per aver migliorato la mia risposta!
Bé, sinceramente se uno non sa che in uno spazio vettoriale di dimensione $n$, un sistema di $n$ vettori linearmente indipendenti è una base, allora ha dei grossi problemi, ti pare? Dubito che "non lo si faccia".
Certo che avrebbe dei problemi! Però nello svolgimento di un esercizio bisogna stare attenti a giustificare tutti i passaggi, no? Almeno così mi hanno insegnato! Se avessi scritto "devo dimostrare che sono una base (cioè linearmente indipendenti)" me l'avrebbero segnato come errore perché essere una base richiede una condizione in più che nel caso specifico è semplice "dimostrare". Poi sinceramente non ci avevo pensato a fare come hai proposto quindi meglio per chi ha da fare l'esercizio che abbia risposto anche tu!
è chiaro che sono consapevole che i vettori L.I. formano una base... il mio ragionamento iniziale era dovuto al fatto che pensavo che studiare la matrice delle immagini .. come ho scritto , fosse la medesima cosa e così era. Comunque grazie ad entrambi per il tempo che mi avete concesso
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