Iniettività di un'applicazione lineare
Ciao a tutti sono nuovo ho delle difficoltà sull'iniettività in questo tipo di esercizio:
Sia $ T: RR ^3rarr RR ^3 $ l'applicazione lineare tale che $ T(1;0;0)= (1;1;0) ; T(0;2;0)= (2;0;2) ;T(0;0;-1)= (2:1:1) $ dire l'autovalore $ alpha $ e se è iniettiva:
Per quanto riguarda l'autovalore non ho problemi a trovarlo, mi trovo la matrice associata, svolgo la matrice e mi viene che l'autovalore è zero, il mio problema è quello di trovare l'iniettività: io so che è iniettiva se: $ NN = 0 $ e sono in grado di calcolarla attraverso la matrice, ma in questo caso non riesco proprio a capire come procedere.
Attendo suggerimenti grazie
Sia $ T: RR ^3rarr RR ^3 $ l'applicazione lineare tale che $ T(1;0;0)= (1;1;0) ; T(0;2;0)= (2;0;2) ;T(0;0;-1)= (2:1:1) $ dire l'autovalore $ alpha $ e se è iniettiva:
Per quanto riguarda l'autovalore non ho problemi a trovarlo, mi trovo la matrice associata, svolgo la matrice e mi viene che l'autovalore è zero, il mio problema è quello di trovare l'iniettività: io so che è iniettiva se: $ NN = 0 $ e sono in grado di calcolarla attraverso la matrice, ma in questo caso non riesco proprio a capire come procedere.
Attendo suggerimenti grazie
Risposte
Suppongo che $NN$ tu lo intenda come nucleo vero?
Beh potresti scrivere agevolmente la matrice associata rispetto alla base canonica e ricondurti all'espressione della $T$ e da qui calcolare il nucleo.
Beh potresti scrivere agevolmente la matrice associata rispetto alla base canonica e ricondurti all'espressione della $T$ e da qui calcolare il nucleo.
Benvenuto nel forum.
In realtà c'è un risultato abbastanza noto e facile: se hai autovalore nullo, allora l'endomorfismo non è automaticamente iniettivo (in particolare non è quindi isomorfismo).
Questo perché se [tex]$0$[/tex] è autovalore, esiste un vettore non nullo [tex]$\mathbf{v}\inV$[/tex] tale che [tex]$f(\mathbf{v})=0\cdot \mathbf{v}=\mathbf{0}$[/tex].
Cioè non hai kernel banale, e quindi nemmeno l'iniettività.
Ciao.
In realtà c'è un risultato abbastanza noto e facile: se hai autovalore nullo, allora l'endomorfismo non è automaticamente iniettivo (in particolare non è quindi isomorfismo).
Questo perché se [tex]$0$[/tex] è autovalore, esiste un vettore non nullo [tex]$\mathbf{v}\inV$[/tex] tale che [tex]$f(\mathbf{v})=0\cdot \mathbf{v}=\mathbf{0}$[/tex].
Cioè non hai kernel banale, e quindi nemmeno l'iniettività.
Ciao.
Si intendevo il nucleo
x mistake89: quindi potrei svolgere così:
Mi trovo la matrice associata che dovrebbe essere questa:
$ ( ( 1 , 1 , -2 ),( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , -1 ) ) $
trovarmi il rango che in questo caso è 2 e quindi essendoci nucleo aguale a 1 non è iniettiva
Mi trovo la matrice associata che dovrebbe essere questa:
$ ( ( 1 , 1 , -2 ),( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , -1 ) ) $
trovarmi il rango che in questo caso è 2 e quindi essendoci nucleo aguale a 1 non è iniettiva
Sì per esempio. Oppure come ha fatto Steven riflettendo sul fatto che $0$ è autovalore (effettivamente non mi ci sono soffermato troppo!)
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