Informazioni sul prodotto misto

[cloix86]

Ciao ragazzi in algebra lineare e geometria nello spazio mi scontro sempre con il prodotto misto tra tre vettori. Il problema è che neanche dal libro riesco a trarre un significato da tutto ciò. Non c'è nessuno che riesce a illuminarmi dicendomi il significato geometrico e matematico di tuttto ciò?

[mircoFN1]

Il prodotto misto è il prodotto vettoriale di due moltiplicato scalarmente per il terzo (l'ordine di moltiplicazione conta per il segno del risultato).
Se pensi al significato geometrico (considera tre vettori geometrici applicati nello stesso punto) ti rendi conto che il valore assoluto del risultato (che evidentemetne è uno scalare) rappresenta il volume dell'esaedro i cui spigoli sono i tre vettori stessi (del parallelepipedo se sono mutuamente ortogonali).
Infatti, il primo prodotto fornisce in modulo l'area del parallelogramma di una base, con il secondo prodotto si moltiplica l'area di base per la proiezione del terzo vettore sulla normale .....
Algebricamte, in ccordinate cartesiane, il prodotto misto si calcola facendo il determinante delle componenti (e qui vedi che l'ordine conta!). Se i vettori sono linearmente dipendenti (quindi sono complanari) il determinante si azzera, infatti l'esaedro è degenere e il suo volume nullo.

ciao

[Camillo]

..Ed è quindi molto utile per verificare che tre vettori siano complanari o no : basta eseguire il prodotto misto dei tre vettori, se è nullo allora sono complanari.
Inoltre se le componenti dei tre vettori sono espresse mediante una base ortonormale e i vettori sono :
$ u=x_1*i+x_2*j+x_3*k$
$v=y_1*i+y_2*j+y_3*k$
$w = z_1*i+z_2*j+z_3*k $ allora:

$uxvLambda w $(u scalar v vettor w )$ = det [(x_1,x_x,x_3),(y_1,y_2,y_3),(z_1,z_2,z_3)]$ $