Informazione su minima distanza rette
Ciao a tutti!
Sono alle prese con degli esercizi riguardanti la minima distanza tra due rette. Ho capito il procedimento e riesco a fare tutto l'esercizio.. ma arrivo alla soluzione e c'è qualcosa che non quadra!
L'esercizio è questo:
Determinare in E3 (R) la retta di minima distanza tra r e s
r: $\{(5x + y - 3 = 0),(z + 3 = 0):}$
s: $\{(x + 1 = 0),(y - 2 = 0):}$
Ecco come ho svolto..
Mi sono trovato i p.d.r [(1,-5,0)] e i p.d.s [(0,0,1)]
Fatto questo ho chiamato [(l,m,n)] i p.d.t che mi servono per trovare il fascio e li ho calcolati
$\{(l = -5m),(n = 0):}$
e quindi trovo che i p.d.t sono [(5,1,0)]
Ora ho fatto il fascio di r:
$5x + y - 3 + k(z + 3) = 0$.... da cui ..... $5x + y + kz + 3k - 3 = 0$
Ora con la formula.... $al + bm + cn = 0$ .... mi trovo il valore di k da sostituire nel fascio di r e trovare il primo piano $\pi$
Facendo i calcoli trovo.... $5*5 + 1*1 + k*0 = 0$ .... cioè..... $26 = 0$ che è impossibile
Nelle soluzioni dell'esercizio (svolte da un prof dell'università).. mostra tutti i calcoli... anche lui alla fine ha come risultato questo $26 = 0$ però prende lo stesso $z - 3 = 0$ come soluzione!
Ho visto che ha fatto la stessa cosa anche su altri esercizi.. ma come è possibile? se mi viene un valore impossibile non dovrebbe esistere.. quindi il piano $\pi$ 1 non ha soluzione
Come mai lui lo prende lo stesso come soluzione?
Grazie a chi mi sa aiutare
Ciaoo!
Sono alle prese con degli esercizi riguardanti la minima distanza tra due rette. Ho capito il procedimento e riesco a fare tutto l'esercizio.. ma arrivo alla soluzione e c'è qualcosa che non quadra!
L'esercizio è questo:
Determinare in E3 (R) la retta di minima distanza tra r e s
r: $\{(5x + y - 3 = 0),(z + 3 = 0):}$
s: $\{(x + 1 = 0),(y - 2 = 0):}$
Ecco come ho svolto..
Mi sono trovato i p.d.r [(1,-5,0)] e i p.d.s [(0,0,1)]
Fatto questo ho chiamato [(l,m,n)] i p.d.t che mi servono per trovare il fascio e li ho calcolati
$\{(l = -5m),(n = 0):}$
e quindi trovo che i p.d.t sono [(5,1,0)]
Ora ho fatto il fascio di r:
$5x + y - 3 + k(z + 3) = 0$.... da cui ..... $5x + y + kz + 3k - 3 = 0$
Ora con la formula.... $al + bm + cn = 0$ .... mi trovo il valore di k da sostituire nel fascio di r e trovare il primo piano $\pi$
Facendo i calcoli trovo.... $5*5 + 1*1 + k*0 = 0$ .... cioè..... $26 = 0$ che è impossibile
Nelle soluzioni dell'esercizio (svolte da un prof dell'università).. mostra tutti i calcoli... anche lui alla fine ha come risultato questo $26 = 0$ però prende lo stesso $z - 3 = 0$ come soluzione!
Ho visto che ha fatto la stessa cosa anche su altri esercizi.. ma come è possibile? se mi viene un valore impossibile non dovrebbe esistere.. quindi il piano $\pi$ 1 non ha soluzione
Come mai lui lo prende lo stesso come soluzione?
Grazie a chi mi sa aiutare
Ciaoo!
Risposte
Quando scrivi la seguente equazione:
$(5x+y-3)+k(z+3)=0$
non devi dimenticare che, quando $[k->oo]$, il piano corrispondente risulta essere $[z+3=0]$, essendo $[z+3]$ l'addendo dominante di quella somma. Se, per considerazioni geometriche, sei sicuro che un piano di quel fascio debba soddisfare la condizione imposta e il calcolo algebrico fallisce, non potendo esistere equazione che possa dare come risultato $[k=oo]$, sai a priori che il piano incognito ha equazione $[z+3=0]$. Avresti potuto procedere anche in questo modo:
$\{(y=-5x+3),(z=-3):} rarr P_1(x,-5x+3,-3)$
$\{(x=-1),(y=2):} rarr P_2(-1,2,z)$
$d^2=(x+1)^2+(-5x+1)^2+(-3-z)^2=26x^2+z^2-8x+6z+11$
$\{((deld^2)/(delx)=52x-8=0),((deld^2)/(delz)=2z+6=0):} rarr \{(x=2/13),(z=-3):}$
$P_1(2/13,29/13,-3)$
$P_2(-1,2,-3)$
$(x+1)/(2/13+1)=(y-2)/(29/13-2)=(z+3)/(-3+3) rarr \{((x+1)/(2/13+1)=(y-2)/(29/13-2)),(z=-3):}$
Se non le hai ancora affrontate, si possono evitare le derivate parziali con il completamento dei quadrati e portare a termine l'esercizio utilizzando solo strumenti noti.
$(5x+y-3)+k(z+3)=0$
non devi dimenticare che, quando $[k->oo]$, il piano corrispondente risulta essere $[z+3=0]$, essendo $[z+3]$ l'addendo dominante di quella somma. Se, per considerazioni geometriche, sei sicuro che un piano di quel fascio debba soddisfare la condizione imposta e il calcolo algebrico fallisce, non potendo esistere equazione che possa dare come risultato $[k=oo]$, sai a priori che il piano incognito ha equazione $[z+3=0]$. Avresti potuto procedere anche in questo modo:
$\{(y=-5x+3),(z=-3):} rarr P_1(x,-5x+3,-3)$
$\{(x=-1),(y=2):} rarr P_2(-1,2,z)$
$d^2=(x+1)^2+(-5x+1)^2+(-3-z)^2=26x^2+z^2-8x+6z+11$
$\{((deld^2)/(delx)=52x-8=0),((deld^2)/(delz)=2z+6=0):} rarr \{(x=2/13),(z=-3):}$
$P_1(2/13,29/13,-3)$
$P_2(-1,2,-3)$
$(x+1)/(2/13+1)=(y-2)/(29/13-2)=(z+3)/(-3+3) rarr \{((x+1)/(2/13+1)=(y-2)/(29/13-2)),(z=-3):}$
Se non le hai ancora affrontate, si possono evitare le derivate parziali con il completamento dei quadrati e portare a termine l'esercizio utilizzando solo strumenti noti.
"opil":
Ciao a tutti!
Sono alle prese con degli esercizi riguardanti la minima distanza tra due rette. Ho capito il procedimento e riesco a fare tutto l'esercizio.. ma arrivo alla soluzione e c'è qualcosa che non quadra!
L'esercizio è questo:
Determinare in E3 (R) la retta di minima distanza tra r e s
r: $\{(5x + y - 3 = 0),(z + 3 = 0):}$
s: $\{(x + 1 = 0),(y - 2 = 0):}$
Ecco come ho svolto..
Mi sono trovato i p.d.r [(1,-5,0)] e i p.d.s [(0,0,1)]
Fatto questo ho chiamato [(l,m,n)] i p.d.t che mi servono per trovare il fascio e li ho calcolati
$\{(l = -5m),(n = 0):}$
e quindi trovo che i p.d.t sono [(5,1,0)]
Ok!
Ora ho fatto il fascio di r:
$5x + y - 3 + k(z + 3) = 0$.... da cui ..... $5x + y + kz + 3k - 3 = 0$
Ora con la formula.... $al + bm + cn = 0$ .... mi trovo il valore di k da sostituire nel fascio di r e trovare il primo piano $\pi$
Facendo i calcoli trovo.... $5*5 + 1*1 + k*0 = 0$ .... cioè..... $26 = 0$ che è impossibile
fammi capire tu vuoi imporre la condizione che la retta t sia perpendicolare ad un piano che contiene r ? e perchè?
Visto che sai che la retta è parallela al vettore (5,1,0) scrivi la forma parametrica
$\ { (x =a+5t),(y=b+t),(z=c) :} $
e adesso trovi il punto (a,b,c) imponendo le due condizioni di incidenza con le rette r,s. Ovvero sostituisci le espressioni parametriche nei due sistemi. A me viene $ a = 5b-11 $ e $ c=-3 $. Da cui sostituendo ed eliminando il parametro t mi esce fuori la retta
$\ { (x-5y+11=0),(z=-3) :} $
Sempre che non ho sbagliato niente...
"perplesso":
Da cui sostituendo ed eliminando il parametro t mi esce fuori la retta
$\{(x-5y+11=0),(z=-3):}$
Sempre che non ho sbagliato niente...
$\{((x+1)/(2/13+1)=(y-2)/(29/13-2)),(z=-3):} rarr \{(x-5y+11=0),(z=-3):}$
Non avevo notato. Ok perfetto
"speculor":
Se non le hai ancora affrontate, si possono evitare le derivate parziali con il completamento dei quadrati e portare a termine l'esercizio utilizzando solo strumenti noti.
Intendevo dire che, con alcuni artifici, è possibile scrivere la seguente espressione:
$d^2=(x+1)^2+(-5x+1)^2+(-3-z)^2=26(x-2/13)^2+(z+3)^2+18/13$
Al di là del termine costante, è evidente che quella somma di quadrati assuma valore minimo nullo quando:
$\{(x=2/13),(z=-3):}$
Tra l'altro, anche se non era richiesto, la distanza minima risulterebbe $[d=18/13]$.
Perfetto grazie mille per la disponibilità!
Tutto ok!
Ciaoo
Tutto ok!
Ciaoo
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