Info topologia
Ciao a tutti, ho bisogno di aiuto da un punto di vista topologico: come faccio a capire che l'intorno aperto di un punto in R^3 è omeomorfo ad un disco aperto o a un semidisco aperto in R^2?
Definizione di omeomorfismo= corrispondenza biunivoca fra spazi topologici tale che un sottoinsieme A di X è aperto se e solo se lo è la sua immagine f(A) in Y.
Mi servirebbe una spiegazione da un punto di vista grafico. Grazie a tutti.
Definizione di omeomorfismo= corrispondenza biunivoca fra spazi topologici tale che un sottoinsieme A di X è aperto se e solo se lo è la sua immagine f(A) in Y.
Mi servirebbe una spiegazione da un punto di vista grafico. Grazie a tutti.
Risposte
Cioè, vuoi trovare un omeomorfismo tra una palla \(B(o;r):=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ x^2+y^2+z^2
Perchè sei convinto che ciò si possa fare?
Perchè sei convinto che ciò si possa fare?
E' la definizione che ho di manifold, che è quello che mi interessa capire.
Allora non è l'intorno aperto di un punto in \(\mathbb{R}^3\) che deve essere omeomorfo ad un disco!
[Infatti questa è una cosa impossibile, perchè una palla ed un disco sono "intrinsecamente" diversi, avendo uno dimensione \(3\) e l'altro dimensione \(2\).]
Bensì è l'intorno di un punto sulla tua varietà (=manifold) a dover essere omeomorfo ad un disco... Questo è possibile, come puoi verificare tu stesso con un esempio semplice.
Immagina un foglio di carta steso in aria: questa è la tua varietà \(\mathcal{M}\).
Scegli un punto \(p\in \mathcal{M}\). Si chiama intorno aperto di \(p\) su \(\mathcal{M}\) un insieme \(U\subseteq \mathcal{M}\) tale che \(p\in U\) ed esiste un aperto \(A\subseteq \mathbb{R}^3\) tale che \(U=A\cap \mathcal{M}\).
Nel tuo esempio, scelto un punto \(p\) sul tuo foglio di carta, un intorno \(U\) di \(p\) su \(\mathcal{M}\) lo puoi ottenere intersecando il foglio con una pallina di centro \(p\) e raggio \(r>0\): ne viene fuori che un intorno di \(p\) su \(\mathcal{M}\) è effettivamente un dischetto di raggio \(\rho =r\).
Alla luce di questo esempio "pane-e-provolone", rileggi bene e con attenzione la definizione di varietà che hai.
P.S.: Ti conviene assegnare al thread un titolo meno generico: ad esempio, potrebbe andare bene "Chiarimenti sulla definizione di varietà" o qualcosa di simile.
[Infatti questa è una cosa impossibile, perchè una palla ed un disco sono "intrinsecamente" diversi, avendo uno dimensione \(3\) e l'altro dimensione \(2\).]
Bensì è l'intorno di un punto sulla tua varietà (=manifold) a dover essere omeomorfo ad un disco... Questo è possibile, come puoi verificare tu stesso con un esempio semplice.
Immagina un foglio di carta steso in aria: questa è la tua varietà \(\mathcal{M}\).
Scegli un punto \(p\in \mathcal{M}\). Si chiama intorno aperto di \(p\) su \(\mathcal{M}\) un insieme \(U\subseteq \mathcal{M}\) tale che \(p\in U\) ed esiste un aperto \(A\subseteq \mathbb{R}^3\) tale che \(U=A\cap \mathcal{M}\).
Nel tuo esempio, scelto un punto \(p\) sul tuo foglio di carta, un intorno \(U\) di \(p\) su \(\mathcal{M}\) lo puoi ottenere intersecando il foglio con una pallina di centro \(p\) e raggio \(r>0\): ne viene fuori che un intorno di \(p\) su \(\mathcal{M}\) è effettivamente un dischetto di raggio \(\rho =r\).
Alla luce di questo esempio "pane-e-provolone", rileggi bene e con attenzione la definizione di varietà che hai.
P.S.: Ti conviene assegnare al thread un titolo meno generico: ad esempio, potrebbe andare bene "Chiarimenti sulla definizione di varietà" o qualcosa di simile.
Scusami puoi spiegarmi perchè l'edge evidenziato non è manifold? Preso un punto di questo e disegnando una sfera, questa si interseca con i 3 piani creando su ognuno di essi un semidisco, no? Grazie ancora.
Direi che il problema è che ti manca regolarità, su quello spigolo.
Però bisognerebbe sapere che definizione di varietà hai sotto mano.
Però bisognerebbe sapere che definizione di varietà hai sotto mano.
La mia definizione di 2-varietà è quella scritta prima, ovvero: sia A una superficie in R^3 tale che ogni suo punto ha un intorno omeomorfo ad un disco aperto o a un semidisco aperto in R^2.
"angel_j88":
... l'edge evidenziato non è manifold? Preso un punto di questo e disegnando una sfera, questa si interseca con i 3 piani creando su ognuno di essi un semidisco, no? .
Penso che il problema in quel caso è che vengono 3 semidischi... se fossero solo 2 si potrebbero "appiattire" in un disco..ma qui c'è un semidisco in più.. dico bene?
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