Individuare un'unica applicazione lineare tra spazi di polinomi a matrici.
Ciao, perdonatemi se non mi sono presentato formalmente, in realtà vi seguo da parecchio, al momento sto preparando l'esame di algebra lineare e non riesco proprio a concepire un esercizio del compito dell'ultimo appello:
Stabilire per quali valori del parametro reale $h$, le seguenti posizioni:
$F(-1+2x+hx^2)=((0,0),(-h,h))$, $F(-h+hx-hx^2)=((2,0),(h,0))$, $F(1+3hx^2)=((h,2h),(0,0))$,
individuano un'unica applicazione lineare $F : RR_2[x] \to M_2(RR)$. Per i restanti valori di $h$, l'applicazione $F$ è lineare? Esistono dei valori di $h$ per i quali $F$ è iniettiva?
Non lo so, devo verificare che i vettori su cui si applica la funzione siano linearmente indipendenti? Devo adottare l'isomorfismo che manda i polinomi in $RR$ e fare lo stesso per le matrici? Non so proprio come devo iniziare!
Stabilire per quali valori del parametro reale $h$, le seguenti posizioni:
$F(-1+2x+hx^2)=((0,0),(-h,h))$, $F(-h+hx-hx^2)=((2,0),(h,0))$, $F(1+3hx^2)=((h,2h),(0,0))$,
individuano un'unica applicazione lineare $F : RR_2[x] \to M_2(RR)$. Per i restanti valori di $h$, l'applicazione $F$ è lineare? Esistono dei valori di $h$ per i quali $F$ è iniettiva?
Non lo so, devo verificare che i vettori su cui si applica la funzione siano linearmente indipendenti? Devo adottare l'isomorfismo che manda i polinomi in $RR$ e fare lo stesso per le matrici? Non so proprio come devo iniziare!
Risposte
Ciao.
Mi limito a dare un inizio di traccia.
Lo spazio $RR^2[x]$ è identificabile con $RR^3$; basta associare al generico polinomio $ax^2+bx+c in RR^2[x]$ il vettore $(a,b,c) in RR^3$.
Per quanto riguarda $M_2(RR)$, esso è identificabile con $RR^4$, se si pensa di associare alla generica matrice $((a,b),(c,d)) in M_2(RR)$ il vettore $(a,b,c,d) in RR^4$.
Quindi è come se si avesse a che fare con un'applicazione $G:RR^3 rightarrow RR^4$ così definita:
$G(h,2,-1)=(0,0,-h,h)$
$G(-h,h,-h)=(2,0,h,0)$
$G(3h,0,1)=(h,2h,0,0)$
Saluti.
Mi limito a dare un inizio di traccia.
Lo spazio $RR^2[x]$ è identificabile con $RR^3$; basta associare al generico polinomio $ax^2+bx+c in RR^2[x]$ il vettore $(a,b,c) in RR^3$.
Per quanto riguarda $M_2(RR)$, esso è identificabile con $RR^4$, se si pensa di associare alla generica matrice $((a,b),(c,d)) in M_2(RR)$ il vettore $(a,b,c,d) in RR^4$.
Quindi è come se si avesse a che fare con un'applicazione $G:RR^3 rightarrow RR^4$ così definita:
$G(h,2,-1)=(0,0,-h,h)$
$G(-h,h,-h)=(2,0,h,0)$
$G(3h,0,1)=(h,2h,0,0)$
Saluti.
Ti ringrazio, da qui in poi ho verificato i vettori del dominio messi in matrice e ho verificato l'indipendenza lineare così ho visto per quali valori di $h$ annullavo il determinante e quindi avevo rango minore di $3$.
Per verificare l'iniettività ho disposto i vettori dell'immagine delle applicazioni e anche qui ho verificato l'indipendenza lineare. Spero di aver seguito un ragionamento corretto. Grazie per avermi dato l'input!
Per verificare l'iniettività ho disposto i vettori dell'immagine delle applicazioni e anche qui ho verificato l'indipendenza lineare. Spero di aver seguito un ragionamento corretto. Grazie per avermi dato l'input!
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
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