Indipendenza lineare tra funzioni
Una tipologia di esercizio che mi mette molto in difficoltà è la dimostrazione del'indipendenza lineare tra funzioni.....
Per esempio un esercizio è
"Si provi che $cos(e^(3t)) , cos(e^(5t)) , cos(e^(7t))$ sono linearmente indipendenti"
Per fare questa tipologia di esercizi bisogna quindi dimostrare che $a[cos(e^(3t))]+b[cos(e^(5t))]+[cos(e^(7t))]=0$ sè e solo sè a=b=c=0 ......
per sbrigare questi esercizi io conosco tre metodi:
1)fare la derivata sapendo che se una somma di funzioni è uguale a zero, lo è anche la somma delle sue derivate. Quindi trovare $a$ da tutte e due le relazioni, eguagliarle così da avere una relazione solo con b e c, rifare al derivata così da ottenere una relazione solo in c così da dimostrare che c=0 , dunque anche b=0 e infine anche a=0.
....in questo esercizio fare la derivata la prima volta non sembra troppo difficile....ma già la seconda è più complesso poichè si hanno tre prodotti di due funzioni....
2)sostituire tre valori a t così da costruire una matrice e se questa ha il determinante diverso da zero esiste solo una terna a b c che risolve le tre equazioni...e questa sarà 0 0 0
....qui ho provato a sostituite $(log(pi/2))/3$, $(log(pi/2))/5$ $(log(pi/2))/7$ e viene una matrice con gli zeri sulla diagonale maggiore e numeri molto complessi sulle altre posizioni.....si può dimostrare con la calcolatrice he quella matrice ha determinante diverso da zero...ma è molto laborioso....
3) Abbiamo studiato un teorema che afferma che $f(t), f^2(t).......f^n(t)$ ...sono linearmente dipendenti se $Imf$ ammette al massimo n elementi.....
....se avessi avuto solamente $(e^t)^3 , (e^t)^5 , (e^t)^7$ bastava usare questo teorema sapendo che $Im(e^t)=RR^+$ ...però c'è il coseno.....quindi non credo si possa usare tranne modificando in qualche modo che io non conosco.....( abbiamo studiato al corso di algebra l'esponenziale complesso e non le formule trigonometriche tipo prostaferesi ecc...ecc...)
Alla fin fine si possono usare uno di questi tre metodi ma il fatto che si hanno tre funzioni che variano solo di un esponente mi fa pensare che c'è un metodo molto più immediato che io non conosco......Qualcuno ha qualche consiglio? Grazie in anticipo.....
Per esempio un esercizio è
"Si provi che $cos(e^(3t)) , cos(e^(5t)) , cos(e^(7t))$ sono linearmente indipendenti"
Per fare questa tipologia di esercizi bisogna quindi dimostrare che $a[cos(e^(3t))]+b[cos(e^(5t))]+[cos(e^(7t))]=0$ sè e solo sè a=b=c=0 ......
per sbrigare questi esercizi io conosco tre metodi:
1)fare la derivata sapendo che se una somma di funzioni è uguale a zero, lo è anche la somma delle sue derivate. Quindi trovare $a$ da tutte e due le relazioni, eguagliarle così da avere una relazione solo con b e c, rifare al derivata così da ottenere una relazione solo in c così da dimostrare che c=0 , dunque anche b=0 e infine anche a=0.
....in questo esercizio fare la derivata la prima volta non sembra troppo difficile....ma già la seconda è più complesso poichè si hanno tre prodotti di due funzioni....
2)sostituire tre valori a t così da costruire una matrice e se questa ha il determinante diverso da zero esiste solo una terna a b c che risolve le tre equazioni...e questa sarà 0 0 0
....qui ho provato a sostituite $(log(pi/2))/3$, $(log(pi/2))/5$ $(log(pi/2))/7$ e viene una matrice con gli zeri sulla diagonale maggiore e numeri molto complessi sulle altre posizioni.....si può dimostrare con la calcolatrice he quella matrice ha determinante diverso da zero...ma è molto laborioso....
3) Abbiamo studiato un teorema che afferma che $f(t), f^2(t).......f^n(t)$ ...sono linearmente dipendenti se $Imf$ ammette al massimo n elementi.....
....se avessi avuto solamente $(e^t)^3 , (e^t)^5 , (e^t)^7$ bastava usare questo teorema sapendo che $Im(e^t)=RR^+$ ...però c'è il coseno.....quindi non credo si possa usare tranne modificando in qualche modo che io non conosco.....( abbiamo studiato al corso di algebra l'esponenziale complesso e non le formule trigonometriche tipo prostaferesi ecc...ecc...)
Alla fin fine si possono usare uno di questi tre metodi ma il fatto che si hanno tre funzioni che variano solo di un esponente mi fa pensare che c'è un metodo molto più immediato che io non conosco......Qualcuno ha qualche consiglio? Grazie in anticipo.....
Risposte
In questo particolare esercizio, secondo me, puoi provare ad usare una combinazione dei metodi da te previsti.
Ho fatto i conti molto velocemente, spero di non portarti fuori strada; un'idea potrebbe essere:
- Per $t=0$ si arriva facilmente a $a+b+c=0$, da cui $a=-b-c$;
- Derivando e poi calcolando in $t=0$ (se non ho sbagliato), dovrebbe seguire che $b=-2c$;
- Sostituendo tutto nella relazione iniziale dovrebbe uscire $c("cos"(e^{3t})-2"cos"(e^{5t})+"cos"(e^{7t}))=0$
A meno di essere molto sfigati, il pezzo fra parentesi, calcolato in $t=1$ dovrebbe essere non nullo, da cui $c=0$. E perciò $a=b=c=0$.
Che ne dici? Funziona?
Ho fatto i conti molto velocemente, spero di non portarti fuori strada; un'idea potrebbe essere:
- Per $t=0$ si arriva facilmente a $a+b+c=0$, da cui $a=-b-c$;
- Derivando e poi calcolando in $t=0$ (se non ho sbagliato), dovrebbe seguire che $b=-2c$;
- Sostituendo tutto nella relazione iniziale dovrebbe uscire $c("cos"(e^{3t})-2"cos"(e^{5t})+"cos"(e^{7t}))=0$
A meno di essere molto sfigati, il pezzo fra parentesi, calcolato in $t=1$ dovrebbe essere non nullo, da cui $c=0$. E perciò $a=b=c=0$.
Che ne dici? Funziona?
Funziona molto bene....Sostituendo 1 mi viene 0,9+0,7+0,5...quindi c=0 perfetto 
Un altro esercizio di questo genere è "Si provi che $t^3sen(3t)e^(3t) , t^3sen(5t)e^(5t) , t^3sen(7t)e^(7t)$ siano linearmente indipendenti"
Io l'ho risolto sostituendo a t tre valori poiche qua la derivata è praticamente impossibile.....
$t=pi/3 , t=pi/5 t=pi/7 $ così che la matrice viene....(se non ho sbagliato i calcoli)
$((0,(pi/3)^(5)*sin(5pi/3)*e^(5/3),(pi/3)^(7)*sin(7pi/3)*e^(7/3)),((pi/5)^(3)*sin(3pi/5)*e^(3/5),0,(pi/5)^(7)*sin(7pi/5)*e^(7/5)),((pi/7)^(3)*sin(3pi/7)*e^(3/7),(pi/7)^(5)*sin(5pi/7)*e^(5/7),0))$
Il determinante
$(pi/5)^(3)sin(3pi/5)e^(3/5) * (pi/7)^(5)sin(5pi/7)e^(5/7) * (pi/5)^(7)sin(7pi/5)e^(7/5) + (pi/7)^(3)sin(3pi/7)e^(3/7) * (pi/3)^(5)sin(5pi/3)e^(5/3) * (pi/5)^(7)sin(7pi/5)e^(7/5)$
che è sicuramente diverso da zero poiche tutti gli $pi$ elevati a qualcosa e le e sono maggiori di zero...... $sin(3pi/5),sin(5pi/7),sin(7pi/3),sin(3/7)$ sono maggiori di zero.....$sen(5pi/3),sin(7pi/5)$ sono minori di zero ma moltiplicati insieme viene maggiore di zero.....quindi il determinante è un numero positivo.....
Non mi viene in mente niente altro.....
Un altro esercizio di questo genere è "Si provi che $t^3sen(3t)e^(3t) , t^3sen(5t)e^(5t) , t^3sen(7t)e^(7t)$ siano linearmente indipendenti"
Io l'ho risolto sostituendo a t tre valori poiche qua la derivata è praticamente impossibile.....
$t=pi/3 , t=pi/5 t=pi/7 $ così che la matrice viene....(se non ho sbagliato i calcoli)
$((0,(pi/3)^(5)*sin(5pi/3)*e^(5/3),(pi/3)^(7)*sin(7pi/3)*e^(7/3)),((pi/5)^(3)*sin(3pi/5)*e^(3/5),0,(pi/5)^(7)*sin(7pi/5)*e^(7/5)),((pi/7)^(3)*sin(3pi/7)*e^(3/7),(pi/7)^(5)*sin(5pi/7)*e^(5/7),0))$
Il determinante
$(pi/5)^(3)sin(3pi/5)e^(3/5) * (pi/7)^(5)sin(5pi/7)e^(5/7) * (pi/5)^(7)sin(7pi/5)e^(7/5) + (pi/7)^(3)sin(3pi/7)e^(3/7) * (pi/3)^(5)sin(5pi/3)e^(5/3) * (pi/5)^(7)sin(7pi/5)e^(7/5)$
che è sicuramente diverso da zero poiche tutti gli $pi$ elevati a qualcosa e le e sono maggiori di zero...... $sin(3pi/5),sin(5pi/7),sin(7pi/3),sin(3/7)$ sono maggiori di zero.....$sen(5pi/3),sin(7pi/5)$ sono minori di zero ma moltiplicati insieme viene maggiore di zero.....quindi il determinante è un numero positivo.....
Non mi viene in mente niente altro.....
Forse mi è venuta in mente un'altra soluzione ma è molto elaborata...forse troppo...poichè vorrei utilizzare l'esponenziale complesso....
l'obbiettivo è utilizzare il teorema che afferma che $f(t),f^2(t),......,f^n(t)$ sono linearmente indipendenti se $Imf$ ammette più di n soluzioni.....
studiando $t^3sin(3t)e^(3t)$ potrei trasformare il sin(3t) con la formula di eulero
$sin(3t)=1/(2i)*(e^(3t*i)-e^(-3t*i))$ così
$t^3sin(3t)e^(3t)= t^3*1/(2i)*(e^(3t*i)-e^(-3t*i))e^(3t)=t^3*1/(2i)*(e^[3t(1+i)]-e^[3t*(1-i)])$
Forse sbaglio in questo passaggio..... $(e^[3t(1+i)]-e^[3t*(1-i)])$ è il terzo lato di un triangolo isoscele formato dai vettori $e^[3t(1+i)]$ e $e^[3t*(1-i)]$
che è proporzionale secondo il coefficiente 3t alla base del triangolo isoscele formato dai lati $e^(1+i)$ e $e^(1-i)$ che misura(lavorando sul piano di gauss dovrebbe essere semplice) $sqrt(2)i$ praticamente il seno di 45 gradi moltiplicato per 2
quindi dovrebbe essere $(e^[3t(1+i)]-e^[3t*(1-i)])=sqrt(2)*3t*i$
quindi $t^3sin(3t)e^(3t)=1/(2i)*sqrt(2)i*3t*t^3=sqrt(2)/2*3t*t^3$
quindi riprendendo la relazione iniziale $a*sqrt(2)/2*3t*t^3+b*sqrt(2)/2*5t*t^5+c*sqrt(2)/2*t*t^7=0$
$a*3t^4+b*5t^6+c*7t^8=0$
fissando $3a=\alpha$ $5b=\beta$ $7c=\gamma$ si ha $\alpha*t^4+\beta*t^6+\gamma*t^8=0$
fissando $f(t)=t$ $Imf=RR$ ha più di otto elementi...... e le tre funzioni sono linearmente indipendenti....
Io ho scritto questa proposta ma ne sono molto scettico....spero nei vostri consigli
l'obbiettivo è utilizzare il teorema che afferma che $f(t),f^2(t),......,f^n(t)$ sono linearmente indipendenti se $Imf$ ammette più di n soluzioni.....
studiando $t^3sin(3t)e^(3t)$ potrei trasformare il sin(3t) con la formula di eulero
$sin(3t)=1/(2i)*(e^(3t*i)-e^(-3t*i))$ così
$t^3sin(3t)e^(3t)= t^3*1/(2i)*(e^(3t*i)-e^(-3t*i))e^(3t)=t^3*1/(2i)*(e^[3t(1+i)]-e^[3t*(1-i)])$
Forse sbaglio in questo passaggio..... $(e^[3t(1+i)]-e^[3t*(1-i)])$ è il terzo lato di un triangolo isoscele formato dai vettori $e^[3t(1+i)]$ e $e^[3t*(1-i)]$
che è proporzionale secondo il coefficiente 3t alla base del triangolo isoscele formato dai lati $e^(1+i)$ e $e^(1-i)$ che misura(lavorando sul piano di gauss dovrebbe essere semplice) $sqrt(2)i$ praticamente il seno di 45 gradi moltiplicato per 2
quindi dovrebbe essere $(e^[3t(1+i)]-e^[3t*(1-i)])=sqrt(2)*3t*i$
quindi $t^3sin(3t)e^(3t)=1/(2i)*sqrt(2)i*3t*t^3=sqrt(2)/2*3t*t^3$
quindi riprendendo la relazione iniziale $a*sqrt(2)/2*3t*t^3+b*sqrt(2)/2*5t*t^5+c*sqrt(2)/2*t*t^7=0$
$a*3t^4+b*5t^6+c*7t^8=0$
fissando $3a=\alpha$ $5b=\beta$ $7c=\gamma$ si ha $\alpha*t^4+\beta*t^6+\gamma*t^8=0$
fissando $f(t)=t$ $Imf=RR$ ha più di otto elementi...... e le tre funzioni sono linearmente indipendenti....
Io ho scritto questa proposta ma ne sono molto scettico....spero nei vostri consigli
Ammetto di non aver controllato per pigrizia i tuoi conti. Però la relazione che hai trovato, precisamente questa:
non credo che sia esatta.
Per esempio per $t=1$ corrisponde a $sin(3)e^3=(3sqrt(2))/2$.
E' una relazione che non mi convince affatto.
Piuttosto preferisco il metodo che hai descritto nel post precedente che, a meno di errori di conto, funziona bene!
"Giulio.90":
$t^3sin(3t)e^(3t)=1/(2i)*sqrt(2)i*3t*t^3=sqrt(2)/2*3t*t^3$
non credo che sia esatta.
Per esempio per $t=1$ corrisponde a $sin(3)e^3=(3sqrt(2))/2$.
E' una relazione che non mi convince affatto.
Piuttosto preferisco il metodo che hai descritto nel post precedente che, a meno di errori di conto, funziona bene!
In effetti (poi adesso che ci penso in questi esercizi si considerano le funzioni $sin(t),e^t,tinC^(/infty)(RR)$ funzioni nel campo reale non complesso) quindi io questi esercizi cerco di sbrigarli con la derivata o sostituendo valori particolari......speriamo che davanti all'esercizio dell'esame mi verrà qualcosa in mente....grazie mille per tutto.....mi hai chiarito veramente questioni che mi facevano impazzire.....grazie ancora
(poi adesso che ci penso in questi esercizi si considerano le funzioni $sin(t),e^t,tinC^(/infty)(RR)$ funzioni nel campo reale non complesso) quindi io questi esercizi cerco di sbrigarli con la derivata o sostituendo valori particolari......speriamo che davanti all'esercizio dell'esame mi verrà qualcosa in mente....grazie mille per tutto.....mi hai chiarito veramente questioni che mi facevano impazzire.....grazie ancora
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