Indipendenza lineare

[BHK1]

Le funzioni $f(x)=x,g(x)=sin(x), h(x)=x+4xsin(x) $ sono linearmente dipendenti?

Sarebbero linearmente indipendenti se $alpha f(x)+beta g(x)+gammah(x)=0$  solo per $alpha=beta=gamma=0$

Ad occhio direi che sono dipendenti, però mi serve un metodo per stabilirlo...
altra domanda, per dimostrare che sono dipendenti o indipendenti devo lasciare la funzione nella sua forma astratta? in altre parole: posso sostituire la x dentro al funzione con una costante?

[BHK1]

up

[Lorin1]

Ma sono legate allo studio delle equazioni differenziali!? perchè di solito queste domande sono legate all'utilizzo della matrice Wronskiana...

[BHK1]

no

[_prime_number]

Non ne sono sicura, ma puoi provare una cosa del tipo: supponiamo esistano $\alpha,\beta,\gamma$ non tutti nulli tali che
$\alpha x + \beta sin x + 2\gamma x sin x = 0, \forall x$
(l'ultima funzione l'ho cambiata per semplicità, tanto studiare l'indipendenza lineare di queste 3 è equivalente a studiarla per le tue 3)
Allora accade che per ogni $x$ (a parte quelli per cui i denominatori non han senso)
$\frac{x}{\gamma x+\beta}=-\frac{sin x}{\alpha + \gamma sin x}$
Adesso provando con alcuni valori particolari delle $x$ magari riesci ad ottenere condizioni assurde sulle 3 costanti e hai così raggiunto un assurdo.
Prova e fammi sapere, ciao

Paola

[BHK1]

$(alphax)/sin(x)+betasin(x)/sin(x)+2gammasinx/sinx=0$

$(alphax)/sin(x)+beta+2gamma=0$ $=>$ $(alphax)/sin(x)=0$ tratto la x come $alpha$,$beta$ e $gamma$

$x=pi/2$;$alpha=4/pi$;$beta=2$;$gamma=-2$

$(4/pi*pi/2)/sin(pi/2)+2+2(-2)=0$