Indipendenza lineare

[andreajf89]

ciao a tutti ho la seguente domanda...

si ha uno spazio vettoriale di dimensione 6 (e quindi con 6 generatori, linearmente indipendenti, imho), si dica se è vero che:


E. 6 vettori non proporzionali sono una base...


ecco, io ho risposto vero, ma in realtà (salvo errori del testo) è falsa... come può essere? il mio ragionamento verte nel fatto che una base, per esssere tale, deve essere formati da vettori (ad es.) di una famiglia, i quali
1) generano lo spazio vettoriale
2) sono linearmente indipendenti...

ora... sono discretamente sicuro che è la stessa cosa dire che vettori linearmente indipedenti non sono proporzionali (cioè nessuno è multiplo dell'altro..)
quindi il dubbio non può che crescere esponenzialmente... che mi sfugge?

[adaBTTLS1]

non so quali siano le altre opzioni, però è possibile che nessuno dei vettori sia multiplo di un altro, però magari uno è combinazione lineare di due o più degli altri, ed in tal caso non sono indipendenti ...
uno multiplo dell'altro significa, geometricamente, che individuano una sola retta o direzione, mentre tre complanari con tre direzioni diverse, pur non essendo l'uno multiplo dell'altro, non sono linearmente indipendenti.
spero sia chiaro. ciao.

[andreajf89]

si ma non ho capito la risposta.. cioè è giusto ciò che cita il libro secondo te?

[rubik2]

un esempio di quello che dice ada: in $RR^6$ i vettori

$(1,0,0,0,0,0)$
$(0,1,0,0,0,0)$
$(0,0,1,0,0,0)$
$(0,0,0,1,0,0)$
$(0,0,0,0,1,0)$
$(1,1,0,0,0,0)$

non sono proporzionali ma non sono una base,