INDIPENDENZA LINEARE

[balista1]

Dati i vettori di uno spazio vettoriale R^4 :

v1= (1,1,1,-1) v2=(1,0,-1,0) v3=(3,1,-1,1)

1.Determinare la dimensione e la base di U di R^4 generata dai vettori dati.

2. Trovare due vettori di R^4 linearm indipendenti e entrambi ortogonali a U.

Per il punto 1 io ho ragionato cosi: mi sono scritto i vettori sotto forma di matrice e ho calcolato il rango.
So che il rkA=dim U la mia matrice ha rango 3 quindi la dimensione della base di U e 3 con base (vi,v2,v3)
Per il punto 2 sto incontrando qualche difficoltà. chipuò darmi una mano?!

[ostrogoto1]

la matrice $ [ ( 1 , 1 , 3 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , -1 , -1 ),( -1 , 0 , 1 ) ] $ ha una sottomatrice 3x3 $ [ ( 1 , 1 , 3 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , -1 , -1 )] $ con determinante nullo quindi i 3 vettori dati non sono linearmente indipendenti.
La dimensione del sottospazio generato dai 3 vettori e' 2 e una base e' data per esempio dai primi due vettori.

Per trovare 2 vettori ortogonali $ w_1,w_2 $ a quelli dati si risolve il sistema:
$ w*v_i=0 $ per $ i=1,2 $
e tra le soluzioni ne prendi due linearmente indipendenti. Per inciso i due vettori della base $ v_1,v_2 $ sono ortogonali

[balista1]

Scusa però se prendo la sottomatrice 3x3 formata da $ [ ( 1, 0 , 1 ),( 1 ,-1 ,-1 ),(-1 ,0 , 1 ) ] $ il determinante è diverso da 0.

Quindi secondo me la dimensione della base di U e 3 e non 2

[balista1]

Concordo, però non ho capito come fare a trovare due vettori di R^4 linearm indipendenti e entrambi ortogonali a U.