Indicare una matrice

[Blackorgasm]

Si indichi una matrice $A in RR^(3x3)$

avente per autospazi $V={x in RR^3: x_1+x_2+2x_3=0}$ $W=<( ( 1 ),( 1 ),( 2 ) )>$

e tale che $A^2=I$

ora la base di $V$ sono due autovettori di $A$ con lo stesso autovalore, fin qui non ci piove;

io dovrei ipotizzare a mio piacimento gli autovalori, ma come faccio ad imporre che $A^2=I$?

[mistake89]

Mmm chiama $A=M^(-1)DM$ con $M$ la matrice che gli autovettori e $D$ la matrice diagonale con autovalori generici $a,b$ supponendo che $a$ sia doppio (relativo a V). Magari poi imponendo che $A^2=I$ trovi $a,b$.

E' solo un'idea.

[Blackorgasm]

mmm la vedo dura, il prof non guarda nemmeno esercizi dove ci sono maree di calcoli...
penso che sia una cosa molto più facile, ma proprio non saprei

[mistake89]

Ragionando con le applicazioni lineari forse è meno contoso:

si tratta di determinare un endomorfismo $f$ tale che $\{(f(1,-1,0)=lambda(1,-1,0)),(f(0,-2,1)=lambda(0,-2,1)),(f(1,1,2)=mu(1,1,2)):}$ e trovi $lambda,mu$ imponendo che $f^2$ sia uguale all'identità.

[cirasa]

Ma no, non ci sono da fare troppi conti.
La matrice $A$ è diagonalizzabile, perchè ammette una base di autovettori.
Gli autovalori di $A$ possono essere solo $1$ o $-1$ (Esercizio: se $lambda$ è autovalore di $A$, allora $lambda^2$ è autovalore di $A^2$. Ma per ipotesi $A^2=I$....)

A chi ne ha voglia il compito di concludere.

[mistake89]

E' vero!!! Non ci avevo pensato che i soli autovalori potessero essere $1,-1$...

Grazie cirasa!

[cirasa]

Prego Mistake!

[Blackorgasm]

quindi praticamente per imporre che $A^2=I$ bastava dire che gli autovalori fossero 1 di molteplicità due e -1 di molteplicità uno?

[cirasa]

Esercizio per te:
Se $A$ è una matrice diagonalizzabile i cui autovalori sono solo $1$ e $-1$, allora $A^2=I$.

Dunque la risposta alla tua domanda è sì (tenendo conto che $A$ è diagonalizzabile).
Oppure il contrario, ovvero autovalore $1$ di molteplicità uno e $-1$ di molteplicità due.

[Blackorgasm]

ok grazie mille