Indicare una matrice

[Blackorgasm]

Si indichi una matrice $A in RR^(3x3)$ tale che:

°$detA=0$,
°$V={x in RR^3: 2x_1+3x_2+5x_3=0}$ sia un autospazio di $A$ di autovalore 7

Senza calcolare esplicitamente $A$, si diagonalizzi $A$.

Allora innanzitutto ho trovato una base di $V$ (che ha dimensione 2), $V=<( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) ),( ( -5 ),( 0 ),( 2 ) )>$

scelgo arbitrariamente un terzo autovettore $v$ (che formi una base di $RR^3$ con la base di $V$) ed ipotizzo suo autovalore 0 (così facendo una colonna di $A$ sarà composta da soli 0 e quindi il suo determinante sarà nullo), allora

$v=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )$ di autovalore 0

$H=( ( 1 , -5 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 2 , 0 ) )$ matrice associata alla base di $RR^3$ composta da autovettori di $A$

$detH=-2$ quindi è una matrice invertibile (in realtà lo sapevamo già)

$D=( ( 7 , 0 , 0 ),( 0 , 7 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$ matrice composta da autovalori di $A$

a questo punto $A*H=H*D$ implica $A=H*D*H^-1$

ovvero: $A=( ( 1 , -5 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 2 , 0 ) )*( ( 7 , 0 , 0 ),( 0 , 7 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )*( ( 1 , -5 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 2 , 0 ) )^-1$

giusto l'esercizio?

[cirasa]

Questo è perfetto. Ho anche fatto fare tutti i conti al pc. Tutto quadra.

[Blackorgasm]

Menomale! speriamo di essere pronti per il compito allora