Indicare una base di una matrice.
Non so proprio cosa devo fare.. 
Risposte
Detta così non ha senso 
Cosa ti chiede esattamente il problema?
Cosa ti chiede esattamente il problema?
Credo il punto sia questo :
Consideriamo per semplicità le matrici $2x2$ a elementi reali , cioè le matrici del tipo $((a,b),(c,d))$ con $ a,b,c,d in RR $.
La dimensione dello spazio vettoriale delle matrici $M_(2x2) $ è $4 $.
Infatti hai $4$ variabili libere e indipendenti $a,b,c,d $.
Una base è formata da $4 $ matrici fra loro indipendenti ad es $A= ((1,0),(0,0)) ;B=((0,1),(0,0)) ;C =((0,0),(1,0)) ;D=((0,0),(0,1)) $.
E'chiaro che le combinazioni lineari di queste $4$ matrici rappresentano tutte le matrici reali $2x2 $.
Cioè $AA a,b,c,d in RR $ hai che $ ((a,b),(c,d))= alpha A+beta B +gamma C+delta D$ con $ alpha, beta, gamma, delta$ determinabili in modo univoco.
Esempio sia $E = ((2,-4),(3,5)) $ determinare la combinazione lineare delle basi sopra dette che rappresenta questa matrice.
NOTA-La dimensione dello spazio vettoriale delle matrici $2x2 $ simmetriche è invece ........ , sono matrici del tipo $((a,b),(b,c)) $ e quindi una base è ....
Consideriamo per semplicità le matrici $2x2$ a elementi reali , cioè le matrici del tipo $((a,b),(c,d))$ con $ a,b,c,d in RR $.
La dimensione dello spazio vettoriale delle matrici $M_(2x2) $ è $4 $.
Infatti hai $4$ variabili libere e indipendenti $a,b,c,d $.
Una base è formata da $4 $ matrici fra loro indipendenti ad es $A= ((1,0),(0,0)) ;B=((0,1),(0,0)) ;C =((0,0),(1,0)) ;D=((0,0),(0,1)) $.
E'chiaro che le combinazioni lineari di queste $4$ matrici rappresentano tutte le matrici reali $2x2 $.
Cioè $AA a,b,c,d in RR $ hai che $ ((a,b),(c,d))= alpha A+beta B +gamma C+delta D$ con $ alpha, beta, gamma, delta$ determinabili in modo univoco.
Esempio sia $E = ((2,-4),(3,5)) $ determinare la combinazione lineare delle basi sopra dette che rappresenta questa matrice.
NOTA-La dimensione dello spazio vettoriale delle matrici $2x2 $ simmetriche è invece ........ , sono matrici del tipo $((a,b),(b,c)) $ e quindi una base è ....
l'esercizio è il seguente:
Sia V lo spazio vettoriale formato dalle matrici quadrate del secondo ordine..
Sia U il sottoinsieme formato dalle matrici quadrate le cui righe sono del tipo:
(0 a-b)
(a b) {al variare di a,b in R}
Devo verificare che U sia un sottospazio vettoriale.
---> e l'ho fatto mostrando che la somma di due generici elementi di U resta in U; e che il prodotto di un elemento di U per uno scalare resta in U.
Poi l'esercizio mi dice: "Determinare una base di U".
Sia V lo spazio vettoriale formato dalle matrici quadrate del secondo ordine..
Sia U il sottoinsieme formato dalle matrici quadrate le cui righe sono del tipo:
(0 a-b)
(a b) {al variare di a,b in R}
Devo verificare che U sia un sottospazio vettoriale.
---> e l'ho fatto mostrando che la somma di due generici elementi di U resta in U; e che il prodotto di un elemento di U per uno scalare resta in U.
Poi l'esercizio mi dice: "Determinare una base di U".
"Camillo":
NOTA-La dimensione dello spazio vettoriale delle matrici $2x2 $ simmetriche è invece ........ , sono matrici del tipo $((a,b),(b,c)) $ e quindi una base è ....
Io non ho idea di come "mettere in moto il cervello" su problemi di questa materia.. così a intuito ti direi che la dimensione dello spazio vettoriale formato dalle matrici simmetriche 2x2 è 3.. così come la dimensione dello spazio vettoriale formato dalle matrici antisimmetriche 2x2 è 2.. ma non ho idea del perché.. o del "come" mostrarlo per via algebrica..
*Matrici del tipo $ ((0,a-b),(a,b))$
Dim $U $ qual è ? Hai due variabili libere che sono $a,b $ e quindi $Dim U =2 $ .Una base di $U $ è allora formata da due matrici che devono essere linearmente indipendenti.
Allora ad esempio scelgo $(a=1; b=0 )$ per la prima matrice della base e scelgo invece $ a=0 ; b=1 $ per la seconda matrice della base.
Ottengo quindi una base così fatta $((0,1),(1,0)) , (( 0,-1),(0,1)) $ .Ok ?
*Matrici simmetriche del secondo ordine sono del tipo quindi $((a,b),(b,c )) $ Quante variabili libere ci sono ? $3 $ quindi la $ Dim $del sottospazio è $3 $.
Una base che sarà formata da tre matrici linearmente indipendenti sarà ad es . ottenibile ponendo successivamente
$a=1;b=0;c=0 $
$a=0;b=1; c=0 $
$ a=0 ; b=0 ; c= 1 $.
Una base è quindi data da $((1,0),(0,0)), (( 0,1),(1,0)) ,(( 0,0),(0,1)) $ . Ok ?
Nota che parlo sempre di UNA base non DELLA base perchè le basi sono sempre $oo$ .
Per le matrici emisimmetriche prova tu a determinare la dim (non è 2 ) e una base.
Ti suggerisco di prendere il testo di teoria e di leggerlo
Non è possibile impadronirsi della materia solo vedendo come sono svolti gli esercizi e poi farli per " imitazione " .
Dim $U $ qual è ? Hai due variabili libere che sono $a,b $ e quindi $Dim U =2 $ .Una base di $U $ è allora formata da due matrici che devono essere linearmente indipendenti.
Allora ad esempio scelgo $(a=1; b=0 )$ per la prima matrice della base e scelgo invece $ a=0 ; b=1 $ per la seconda matrice della base.
Ottengo quindi una base così fatta $((0,1),(1,0)) , (( 0,-1),(0,1)) $ .Ok ?
*Matrici simmetriche del secondo ordine sono del tipo quindi $((a,b),(b,c )) $ Quante variabili libere ci sono ? $3 $ quindi la $ Dim $del sottospazio è $3 $.
Una base che sarà formata da tre matrici linearmente indipendenti sarà ad es . ottenibile ponendo successivamente
$a=1;b=0;c=0 $
$a=0;b=1; c=0 $
$ a=0 ; b=0 ; c= 1 $.
Una base è quindi data da $((1,0),(0,0)), (( 0,1),(1,0)) ,(( 0,0),(0,1)) $ . Ok ?
Nota che parlo sempre di UNA base non DELLA base perchè le basi sono sempre $oo$ .
Per le matrici emisimmetriche prova tu a determinare la dim (non è 2 ) e una base.
Ti suggerisco di prendere il testo di teoria e di leggerlo
Non è possibile impadronirsi della materia solo vedendo come sono svolti gli esercizi e poi farli per " imitazione " .
Il mio libro è sottolineato e stra-sottolineato (da me ovviamente) ed è Geometria 1 di Edoardo Sernesi. E' un testo incomprensibile: spiega praticamente senza esempi. Non ho parole.
Quello che ho scritto l'hai capito ? e e sercitazioni non ne fate ?
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