Indicare una base di..

[Nucnele]

L'esercizio dice:
Sia x una indeterminata su $QQ[sqrt2$]; si indichi una base di {P$in$($QQsqrt2$)[x]|deg$<=$7, P($1/5$)= P($2/7$-$5/2$$sqrt2$)= P(3$sqrt2$+5$sqrt2$)=0}.

Non so proprio dove mettere le mani.. Come la trovo una base? Grazie!

[ciampax]

Devi scrivere un generico polinomio di grado $7$ in $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ che soddisfi le proprietà richieste e vedere che relazione intercorre tra i coefficienti. A quel punto, alcuni di essi dipenderanno dagli altri, mentre ce ne saranno alcuni indipendenti. A quel punto puoi assegnare a questi coefficienti indipendenti valori diversi, volta per volta, per ottenere una base. Ad esempio se fosse $\{P\in\mathbb{R}[x]\ :\ \deg(P)\le 2,\ P(0)=0,\ P(1)=0\}$ allora avresti $P(x)=a+bx+cx^2+dx^3$ e le condizioni $a=0,\ a+b+c+d=0$, pertanto $a=0,\ d=-b-c$. puoi allora scegliere, alternativamente, $(b,c)=(1,0),\ (b,c)=(0,1)$ così da ottenere i polinomi $x-x^3,\ x^2-x^3$ che formano una base. Nel tuo caso, avrai otto coefficienti arbitrari.

[Nucnele]

Ma è l'unico modo? Mi sembra strano che si debba usare un polinomio di settimo grado e poi sostituire nelle x quei valori che ho postato sopra. Uscirebbero calcoli assurdamente lunghi..

[weblan]

"Nucnele":

P(3$sqrt2$+5$sqrt2$)=0}.

Devi solo precisare se vuoi intendere P(8$sqrt2$)=0}

[Nucnele]

5 per radice quarta di 2

Scusa ma non sapevo come scriverlo!

[Nucnele]

Ma se x è una indeterminata su $QQ$[$sqrt2$] come va scritta??