Indicare una applicazione lineare

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11 giu 2010, 21:02

In $RR^3$ si considerino i sottospazi

$V={x in RR^3: x_1-5x_2=0}$ , $W={x in RR^3:x_1-7x_3=0}$.

Si indichi una applicazione lineare $f:RR^3->RR^3$ tale che $f(V)=W$
Si determini la matrice $A in RR^(3x3)$ tale che $f=L_A$.

allora io mi sono trovato una base di $V$ ed una di $W$ che hanno entrambe dimensione 2, quindi

$V=<( ( 5 ),( 1 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )>$ e $W=<( ( 7 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )>$

ora, ogni vettore $v in V$ può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base, quindi $v=k*( ( 5 ),( 1 ),( 0 ) )+j*( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$, così anche per $w in W$ ovvero $w=h*( ( 7 ),( 0 ),( 1 ) )+y*( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$ con $k, j, h, y in RR$

a questo punto applico $f$ e la sua linearità:

$k*f*( ( 5 ),( 1 ),( 0 ) )+j*f*( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=h*( ( 7 ),( 0 ),( 1 ) )+y*( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$

ed a questo punto mi blocco; non basta questo per dimostrare che $f(V)=W$? potete spiegarmene il motivo? grazie in anticipo

Risposte

cirasa

12 giu 2010, 10:07

Al solito per definire un'applicazione lineare è sufficiente definire come agisce sui vettori di una base.
E allora puoi definire
$f((5),(1),(0))=((7),(0),(1))$ (*)
$f((0),(0),(1))=((0),(1),(0))$ (*)
(affinchè $f(V)=W$)
E ora completa la base di $V$ ad una base di $RR^3$ e definisci a tuo piacere come deve agire $f$ sull'ultimo vettore.

Naturalmente quelle in (*) non sono le uniche scelte possibili.

Completa tu. Se hai dubbi, chiedi pure.

Blackorgasm

12 giu 2010, 10:13

io ho fatto come dici tu nel compito, ma il prof mi ha detto che non basta, poi ho ampliato giustamente le due basi ($V$ e $W$) a basi di $RR^3$, per esempio ho aggiunto il vettore $((1),(0),(0))$ ad entrambe ed ho fatto che $f((1),(0),(0))=((1),(0),(0))$

quindi $Imf=<((7),(0),(1)),((0),(1),(0)),((1),(0),(0))>$

l'esercizio sarebbe finito qui?

cirasa

12 giu 2010, 10:22

Io penso che vada bene.
Se proprio non siamo sicuri, controlliamo:
Stiamo cercando un'applicazione lineare $f:RR^3\to RR^3$ (e su questo non ci sono problemi, quella che hai fornito tu lo è) tale che
(1) $f(V)=W$.
Controlliamo che effettivamente vale (1):
$f(V)=f(<((5),(1),(0));((0),(0),(1))>)= = <((7),(0),(1));((0),(1),(0))> =W$.

Quindi ne abbiamo trovata una. Secondo me, l'esercizio è finito.