Incomprensione di un passaggio di un esercizio su kernel e immagine di una funzione

[caffeinaplus]

Salve a tutti,
l'esercizio che sto svolgendo chiede

Dati i vettori $v_1 = (2, −3, 1, 0)$ e $v_2 = (0, −1, 1, −1)$, sia
$f : \RR^4 → \RR^4$ una funzione lineare tale che $Ker(f ) = Im(f ) = $.
(a) Si scriva la matrice di una tale $f$ rispetto alla base canonica di $\RR^4$ .

ecc ....

Ora, io ho ragionato così

$Ker(f) = Im(f)$ allora $Span(v_1,v_2) = Ker(f) = Im(f)$

Quindi la matrice è data $f(v_1)$ e $f(v_2)$ ma $v_1 \in Ker(f)$ e $v_2 \in Ker(f)$ quindi
$f(v_1) = 0$ e $f(v_2) = 0$

E quindi $A=( (0,0,0,0), (0,0,0,0) )$ ma invece non è così.Perchè?

[killing_buddha]

Un endomorfismo deve avere una matrice quadrata, non credi?

Se poi \(\ker f=\text{im } f\) allora $f^2=0$, cosa che ti dice già qualcosa su come $f$ deve essere fatto.

Un modo di fare l'esercizio è completare \(\langle v_1,v_2\rangle\) ad una base di $\mathbb R^4$ e poi cambiare base nella base canonica: prendi per esempio $e_3,e_4$ (certamente $\det(v_1,v_2,e_3,e_4)\ne 0$), cosicché è facile fare il cambio di base.

[caffeinaplus]

"killing_buddha":Un endomorfismo deve avere una matrice quadrata, non credi?

Se poi \(\ker f=\text{im } f\) allora $f^2=0$, cosa che ti dice già qualcosa su come $f$ deve essere fatto.

Un modo di fare l'esercizio è completare \(\langle v_1,v_2\rangle\) ad una base di $\mathbb R^4$ e poi cambiare base nella base canonica: prendi per esempio $e_3,e_4$ (certamente $\det(v_1,v_2,e_3,e_4)\ne 0$), cosicché è facile fare il cambio di base.

Tanto per iniziare grazie della risposta

Al completare la base ci avevo pensato, effettivamente sono stato un po impreciso nello spiegarmi.Non riuscivo a capire perchè le prime due colonne non erano formate da $0$ dato quanto detto nella traccia, quindi prima di pensare a completare la base e fare qualsiasi altra cosa cercavo una spiegazione di questo fatto