Incollamento di omeomorfismi
Prendiamo un ricoprimento ${U_alpha}_{alpha\inA}$ (dove $A$ è un insieme di indici) di uno spazio topologico $X$. Supponiamo che questo ricoprimento sia aperto oppure chiuso e finito. Prendiamo adesso una famiglia di funzioni ${f_alpha}$, $f_alpha:U_alpha\toY$, e chiamiamo $V_alpha=f(U_alpha)$. Supponiamo che queste funzioni possano essere incollate, cioè che $f_alpha(U_alphannU_beta)=f_beta(U_alphannU_beta), \forall alpha, beta\inA$ . Detto $f$ il loro incollamento, ovvero la funzione definita da $f(x)=f_alpha(x), x\inU_alpha$, sappiamo che $f$ è continua se le $f_alpha$ lo sono.
Domanda: e se le $f_alpha$ sono omeomorfismi, $f$ è un omeomorfismo? Per essere più precisi, se le $f_alpha$ sono omeomorfismi $U_alpha\toV_alpha$, $f$ è un omeomorfismo $X\toY$ o devo aggiungere qualche ipotesi?
Domanda: e se le $f_alpha$ sono omeomorfismi, $f$ è un omeomorfismo? Per essere più precisi, se le $f_alpha$ sono omeomorfismi $U_alpha\toV_alpha$, $f$ è un omeomorfismo $X\toY$ o devo aggiungere qualche ipotesi?
Risposte
mi pare che non basti, con i chiusi consideri: $X=RR$ e $Y=RR_0^+$ e i due chiusi $(-oo,0]$ e $[0,+oo)$ la funzione $f(x)=x^2$ rappresenta un omeomorfismo per entrambi gli aperti in Y e si può incollare in ${0}$ però globalmente non è un omeomorfismo.
domani ci penso con più calma, ciao
domani ci penso con più calma, ciao
Hai ragione e in effetti non è difficile capire che quello ottenuto è un omeomorfismo locale (almeno nel caso degli aperti, probabilmente è lo stesso per i chiusi ma bisognerebbe snocciolare un po' la cosa). Se aggiungiamo che la famiglia dei $V_alpha$ ricopre $Y$ possiamo concludere? (A naso direi che ci possono dare problemi due cose: chi ci dice che $f$ è iniettiva, e chi ci dice che i $V_alpha$ sono aperti o chiusi?)
innanzitutto segnalo un piccolo errore nella mia prima risposta ad un certo punto dico che i due insiemi sono aperti invece sono chiusi 
sicuramente i $V_alpha$ devono ricoprire (garantisce la suriettività di f) questo comunque non è sufficiente perchè nel mio esempio entrambi sono tutto lo spazio che quindi è ricoperto.
affinchè f sia un omeomorfismo deve essere continua, invertibile e con inversa continua il problema è quali condizioni tutto ciò impone sulle $f_alpha$ ed io sinceramente non ne ho la più pallida idea
sicuramente i $V_alpha$ devono ricoprire (garantisce la suriettività di f) questo comunque non è sufficiente perchè nel mio esempio entrambi sono tutto lo spazio che quindi è ricoperto.
affinchè f sia un omeomorfismo deve essere continua, invertibile e con inversa continua il problema è quali condizioni tutto ciò impone sulle $f_alpha$ ed io sinceramente non ne ho la più pallida idea
"rubik":
non ne ho la più pallida idea
Tutto sommato sono contento, almeno sono in buona compagnia!
Secondo me ti serve almeno la connessione, dato che per esempio se $U_1 = (-1,0) subset RR$ e $U_2 = (0,1) subset RR$ e $X = U_1 uu U_2$ allora i due omeomorfismi
$f_1:U_1 to (0,1),\ x to -x$
$f_2: U_2 to (0,1),\ x to x$
si possono incollare (dato che $U_1$ e $U_2$ sono disgiunti) e producono
$f:X to (0,1)$, $f(x)=-x$ se $x in U_1$, $f(x)=x$ se $x in U_2$.
Tale $f$ non è iniettiva dato che $f(-1/2)=f(1/2)=1/2$.
Nel caso connesso, secondo me ci sono buone possibilità che sia vero, dato che per esempio se un $X$ connesso è sottospazio topologico di $RR$ allora è vero: la suriettività dell'incollamento viene dal fatto che le immagini degli $U_{alpha}$ ricoprono il codominio, e l'iniettività viene dal fatto che se $f_{alpha}(x_{alpha}) = f_{beta}(x_{beta})$ con $x_{alpha}
Postilla: hai mai approfondito la teoria dei fasci (in inglese, sheaf theory)? Credo che la troveresti molto interessante, si applica splendidamente a questo caso (la definizione di fascio in qualche modo postula l'esistenza di incollamenti per mappe compatibili). Provo a pensarci in questo senso.
$f_1:U_1 to (0,1),\ x to -x$
$f_2: U_2 to (0,1),\ x to x$
si possono incollare (dato che $U_1$ e $U_2$ sono disgiunti) e producono
$f:X to (0,1)$, $f(x)=-x$ se $x in U_1$, $f(x)=x$ se $x in U_2$.
Tale $f$ non è iniettiva dato che $f(-1/2)=f(1/2)=1/2$.
Nel caso connesso, secondo me ci sono buone possibilità che sia vero, dato che per esempio se un $X$ connesso è sottospazio topologico di $RR$ allora è vero: la suriettività dell'incollamento viene dal fatto che le immagini degli $U_{alpha}$ ricoprono il codominio, e l'iniettività viene dal fatto che se $f_{alpha}(x_{alpha}) = f_{beta}(x_{beta})$ con $x_{alpha}
Postilla: hai mai approfondito la teoria dei fasci (in inglese, sheaf theory)? Credo che la troveresti molto interessante, si applica splendidamente a questo caso (la definizione di fascio in qualche modo postula l'esistenza di incollamenti per mappe compatibili). Provo a pensarci in questo senso.
per martino: visto che hai parlato di sheaf theory mi potresti consigliare qualche libro o anche dispensa su internet a riguardo?
io nn li ho mai visti e sarei interessato a studiarli.
grazie mille
io nn li ho mai visti e sarei interessato a studiarli.
grazie mille
"miuemia":
per martino: visto che hai parlato di sheaf theory mi potresti consigliare qualche libro o anche dispensa su internet a riguardo?
io nn li ho mai visti e sarei interessato a studiarli.
grazie mille
Io ti consiglierei di guardare questo, è fatto molto bene. La parte sui fasci è il capitolo 4 (pagina 81 e seguenti).
L'inconveniente è che devi essere pratico con la teoria delle categorie (che comunque è trattata nella dispensa), ma ne vale la pena. Potrebbe essere troppo avanzato, in caso dimmi che potrei trovare dell'altro.
non vorrei sembrare disfattista ma secondo me la connessione non basta:
prendiamo in considerazione $p:X->Y$ rivestimento
p deve essere un omeomorfismo locale, quindi possiamo dire che p è una "f globale" in cui ogni $f_alpha$ è la restrizione di p ad un intorno in cui è un omeomorfismo.
ora preso $Y$ con gruppo fondamentale non banale esiste sempre (ad esempio se $Y$ è una varietà topologica) un rivestimento con $X$ semplicemente connesso (quindi in particolare connesso) e per forza di cose p non può essere un omeomorfismo.
spero di non aver frainteso l'idea di Martino. attendo notizie
prendiamo in considerazione $p:X->Y$ rivestimento
p deve essere un omeomorfismo locale, quindi possiamo dire che p è una "f globale" in cui ogni $f_alpha$ è la restrizione di p ad un intorno in cui è un omeomorfismo.
ora preso $Y$ con gruppo fondamentale non banale esiste sempre (ad esempio se $Y$ è una varietà topologica) un rivestimento con $X$ semplicemente connesso (quindi in particolare connesso) e per forza di cose p non può essere un omeomorfismo.
spero di non aver frainteso l'idea di Martino. attendo notizie
"rubik":
spero di non aver frainteso l'idea di Martino. attendo notizie
Non l'hai fraintesa. Era uno spunto, non che fossi sicuro.
Di gruppi fondamentali so poco-niente (solo la definizione) quindi non riesco a seguirti troppo bene. Tu dici che un semplicemente connesso ha gruppo fondamentale banale e quindi dall'esistenza di quella $p:X to Y$ con $X$ semplicemente connesso deduci che $p$ non è un omeomorfismo perché la connessione è un invariante topologico, giusto? Ma cosa intendi per "rivestimento"? Intendi forse omeomorfismo locale o qualcosa di più sottile?
E quel teorema di esistenza per i rivestimenti è qualcosa di difficile da dimostrare?
@ Martino:
qualcosa di più terra-terra...?
Potrebbe essere troppo avanzato, in caso dimmi che potrei trovare dell'altro.
qualcosa di più terra-terra...?
"dissonance":
@ Martino:
Potrebbe essere troppo avanzato, in caso dimmi che potrei trovare dell'altro.
Allora facciamo così: se vi interessa mandatemi (@dissonance e miuemia) un pvt col vostro indirizzo e-mail, mi pare di avere da qualche parte una trattazione (breve) di prefasci e fasci che non fa uso del linguaggio delle categorie. Ve lo manderei entro domani sera.
"Martino":
[quote="rubik"]spero di non aver frainteso l'idea di Martino. attendo notizie
Non l'hai fraintesa. Era uno spunto, non che fossi sicuro.
Di gruppi fondamentali so poco-niente (solo la definizione) quindi non riesco a seguirti troppo bene. Tu dici che un semplicemente connesso ha gruppo fondamentale banale e quindi dall'esistenza di quella $p:X to Y$ con $X$ semplicemente connesso deduci che $p$ non è un omeomorfismo perché la connessione è un invariante topologico, giusto? Ma cosa intendi per "rivestimento"? Intendi forse omeomorfismo locale o qualcosa di più sottile?
E quel teorema di esistenza per i rivestimenti è qualcosa di difficile da dimostrare?[/quote]
ho detto che non può essere un omeomorfismo per via dei gruppi fondamentali che sono diversi, nelle mie ipotesi quello di $X$ è banale quello di $Y$ no.
per la definizione di rivestimento puoi vedere qui http://it.wikipedia.org/wiki/Rivestimento è corretto ho controllato
la dimostrazione dell'esistenza di un rivestimento semplicemente connesso che conosco non è difficile però fa uso dei sollevamenti e del teorema di monodromia (riguarda i sollevamenti) insomma sarebbe utile un po' di dimestichezza con i rivestimenti. se vuoi puoi trovarla sul kosniowski "introduzione alla topologia algebrica", sono tre paginette piuttosto discorsive se vuoi ti scannerizzo le parti (anche quelle sui sollevamenti).
grazie martino per il link... lo stamperò e lo studierò-
grazie ancora
grazie ancora
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