Incertezze su spazi dimensioni di spazi vettoriali

[Francesco Pasutto]

Buon pomeriggio. dopo aver studiato la teoria e aver fatto qualche esercizio, mi sono impuntato.

Sia V = {(x,y) ∈ C^2 : x = 2iy}
a) determinare una base di V su C e una base di V su R.

che differenze c'è? Determinare una base di V su C, vuol dire che considero V come un C-spazio, quindi gli scalari appartengono a C. rispettivamente per R, giusto? Ma la base? da che vettori può essere composta?

grazie!

[Francesco Pasutto]

Posso scrivere l'insieme V come:
V={(2iy,y):y appartenga a C}
da qui ho che una base di V su C è <(2i,1)> e ha dim=1.
per trovare una base di V su R devo per caso considerare C=RxR e quindi V=<(0,1),(2,0)>? e ha quindi dim=2?

[Cantor99]

Provo a risponderti ed esorto altri a correggermi.

C'è differenza tra considerare uno stesso spazio su diversi campi, pensa ad esempio che risulta $dim_(CC)(CC)=1$ perché una base di $CC(CC)$ è, ad esempio, ${i}$ perché per ogni $z in CC$ si ha $z=\alpha*i$ (il prodotto è quello di $CC$) con $\alpha in CC$. Mentre $dim_RR(CC)=2$ poiché una base di $CC(RR)$ è ad esempio ${1,i}$: infatti ogni $z in CC$ si scrive come $z=a+bi$ con $a,b in RR$

Allora abbiamo $V={(x,y) in CC^2 : x=2yi}={(2yi,y) : y in CC}=<(2i,1)>$
Quindi una base di $V$ in $CC(CC)$ è ${(2i,1)}$ e fin qui ci troviamo.

Ora secondo me per ottenere la base in $CC(RR)$ devi usare gli "scalari reali". Posto $y=a+bi$, si ha $(2yi,y)=(2(a+bi)i,a+bi)=(2ai-2b,a+bi)=a(2i,1)+b(-2,i)$ e una base dovrebbe essere ${(2i,1),(-2,i)}$

Per come hai scritto tu non si possono ottenere elementi complessi!

Per ora ti lascio così, sperando che qualcuno confermi