Imposizione retta su equazione fascio di piani
Ciao a tutti!
Vi scrivo perchè non riesco a comprendere la correzione di un esercizio propostomi, nel quale mi si chiedeva (alla fine) di trovare l'equazione di un piano su cui giacciono due rette, r ed s, parallele (di cui sono note le rispettive equazioni cartesiane, già trovate e corrette).
La frase in questione è la seguente:
<< Il piano che contiene entrambe le rette si può ottenere considerando il fascio di piani di asse la
retta r
λ(x + 2y − z) + µ(y − z − 3) = 0
Imponendo al generico piano del fascio di contenere s, si ha 2λ − 4µ = 0 e quindi il piano richiesto `e:
2x + 5y − 3z − 3 = 0. >>
come faccio ad imporre al generico fascio di piani definito da λ(x + 2y − z) + µ(y − z − 3) = 0 di contenere la retta s ?
le equazioni delle rette sono:
r : x + 2y − z = 0, y − z − 3 = 0
s : x = 3 − t, y = t, z = 1 + t
grazie in anticipo,
Arcano
Vi scrivo perchè non riesco a comprendere la correzione di un esercizio propostomi, nel quale mi si chiedeva (alla fine) di trovare l'equazione di un piano su cui giacciono due rette, r ed s, parallele (di cui sono note le rispettive equazioni cartesiane, già trovate e corrette).
La frase in questione è la seguente:
<< Il piano che contiene entrambe le rette si può ottenere considerando il fascio di piani di asse la
retta r
λ(x + 2y − z) + µ(y − z − 3) = 0
Imponendo al generico piano del fascio di contenere s, si ha 2λ − 4µ = 0 e quindi il piano richiesto `e:
2x + 5y − 3z − 3 = 0. >>
come faccio ad imporre al generico fascio di piani definito da λ(x + 2y − z) + µ(y − z − 3) = 0 di contenere la retta s ?
le equazioni delle rette sono:
r : x + 2y − z = 0, y − z − 3 = 0
s : x = 3 − t, y = t, z = 1 + t
grazie in anticipo,
Arcano
Risposte
Io farei così. Hai due rette:
$ r: { ( x=-t+3 ),( y=t ),( z=t+1 ):} $
$ s: { ( x=-t-6 ),( y=t+3 ),( z=t ):} $
Hai già visto che sono parallele e seguono il vettore direzione $D=( ( -1 ),( 1 ),( 1 ) )$
Quindi una direzione già ce l'hai, ergo ti basta trovare un altro vettore direzione del piano.
Basta prendere un punto qualsiasi che sta su ogni retta e poi ricavi il vettore che li unisce per differenza.
Per t=0 ottieni due vettori da sottarre
$ ( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) ) - ( ( -6 ),( 3 ),( 0 ) )=( ( 9 ),( -3 ),( 1 ) )=P $
Ora abbiamo due vettori direzioni, D e P, che stanno sul piano che passa per l'origine. Il piano è definito come l'insieme di vettori tutti ortogonali ad un terzo vettore C. Ergo facciamo il prodotto vettoriale DxP e ricaviamo:
$C=( ( 2 ),( 5 ),( -3 ) )$
L'equazione generica di un piano è $ax+by+cz=d$ e noi abbiamo appena trovato a, b e c.
Ergo abbiamo il piano $2x+5y-3z=0$ ma vogliamo traslarlo in $2x+5y-3z=d$
Per trovare d basta imporre che passi per un punto del piano qualsiasi, come $( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )$
$2*3+5*0-3*1=d=3$
Quindi il nostro piano è $2x+5y-3z-3=0$
$ r: { ( x=-t+3 ),( y=t ),( z=t+1 ):} $
$ s: { ( x=-t-6 ),( y=t+3 ),( z=t ):} $
Hai già visto che sono parallele e seguono il vettore direzione $D=( ( -1 ),( 1 ),( 1 ) )$
Quindi una direzione già ce l'hai, ergo ti basta trovare un altro vettore direzione del piano.
Basta prendere un punto qualsiasi che sta su ogni retta e poi ricavi il vettore che li unisce per differenza.
Per t=0 ottieni due vettori da sottarre
$ ( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) ) - ( ( -6 ),( 3 ),( 0 ) )=( ( 9 ),( -3 ),( 1 ) )=P $
Ora abbiamo due vettori direzioni, D e P, che stanno sul piano che passa per l'origine. Il piano è definito come l'insieme di vettori tutti ortogonali ad un terzo vettore C. Ergo facciamo il prodotto vettoriale DxP e ricaviamo:
$C=( ( 2 ),( 5 ),( -3 ) )$
L'equazione generica di un piano è $ax+by+cz=d$ e noi abbiamo appena trovato a, b e c.
Ergo abbiamo il piano $2x+5y-3z=0$ ma vogliamo traslarlo in $2x+5y-3z=d$
Per trovare d basta imporre che passi per un punto del piano qualsiasi, come $( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )$
$2*3+5*0-3*1=d=3$
Quindi il nostro piano è $2x+5y-3z-3=0$
Poi c'è la soluzione prosaica del prof.
Imposti un fascio di piani che ruotano attorno a r:
$λ(x + 2y − z) + µ(y − z − 3) = 0$
e sostituisci un punto della retta s, tipo (3,0,1), ottenendo appunto la relazione fra λ e µ:
$λ=2µ$
Scegli un valore per µ, tipo µ=1, quindi λ=2 e sostituisci ottenendo il piano.
Imposti un fascio di piani che ruotano attorno a r:
$λ(x + 2y − z) + µ(y − z − 3) = 0$
e sostituisci un punto della retta s, tipo (3,0,1), ottenendo appunto la relazione fra λ e µ:
$λ=2µ$
Scegli un valore per µ, tipo µ=1, quindi λ=2 e sostituisci ottenendo il piano.
[ot]Più che prosaica, direi che è la soluzione più intelligente: perché complicarsi la vita con calcoli pleonastici quando esistono risoluzioni più efficienti? 
Bisogna ottimizzare il tempo! 
[/ot]
Bisogna ottimizzare il tempo! [/ot]
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