Impacchettamento di sfere.
Salve, riguardando un esercizio di geometria non capisco molto una cosa soltanto. Questa dimostrazione mi da la disposizione migliore (triangolare o esagonale o ad alveare) per riempire il piano con dei cerchi tutti di raggio uguale. Ma non capisco se la disposizione è indipendente o dipendente dal raggio e in tal caso se mi da anche il raggio ottimale.
La dimostrazione è lunga ma non credo che per risolvere il mio dubbio sia necessario leggere tutto.
Edit: Inoltre non capisco come mai con \( z = \omega_3 \), il punto 6), abbiamo che \( \Gamma_z \) è associato alla pavimentazione triangolare o esagonale o ad alveare. (fine edit)
In questo esercizio andremo a discutere il problema di riempimento migliore possibile del piano con delle palle identiche che si toccano al più lungo uno dei loro bordi. È chiaro che non possiamo riempire tutto il piano esattamente ma possiamo cercare di fare il meglio possibile. Dato \( r >0 \) e \( \Gamma \) un reticolo definiamo.
\[ \Gamma(r) = \bigcup\limits_{\gamma \in \Gamma} B(\gamma,r) = \bigcup\limits_{\gamma \in \Gamma} \gamma + B(0,r) \]
L'unione delle palle aperte di raggio \(r \) centrate nel punto del reticolo \(B(\gamma,r) = \{ z \in \mathbb{C}, \begin{vmatrix} z-\gamma \end{vmatrix} < r \} \)
\( (\star) \) Supponiamo che le palle non si toccano, quindi \( r \) è tale che \( \gamma \neq \gamma' \in \Gamma \Rightarrow B(\gamma,r) \cap B(\gamma',r) = \emptyset \).
Per misurare la qualità di riempimento del piano per questo reticolo di palle \( \Gamma(r) \) introduciamo la densità di riempimento.
\[ \delta(\Gamma,r)= \lim\limits_{R \to + \infty} \frac{\operatorname{Area}(B(0,R)\cap \Gamma(r))}{\pi R^2}\]
Dove \( B(0,R) \) è la palla centrata in \( 0 \) e di raggio \( R \). Inoltre guardiamo il limite quando la palla diventa grande per la proporzione dell'area coperta nella palla dalle palle centrate nei punti del reticolo.
1) Sia \( (\gamma, \gamma') \) una base del reticolo, \( \textbf{P}= [-1/2,1/2[\gamma + [-1/2,1/2[ \gamma' \) il parallelogramma fondamentale corrispondente e \( \gamma + \textbf{P} \), \( \gamma \in \Gamma \) i suoi differenti traslati per i punti del reticolo. Diamo ugualmente \( r_0 > 0 \) tale che \( \textbf{P} \) sia contenuto dentro la palla \( B(0,r_0) \). Dimostrare che per \( R \geq 3r_0 \) l'unione di tutti i traslati \( \gamma + \textbf{P} \), \( \gamma \in \Gamma \) che intesecano il cerchio \( C(0,R) \) è contenuta nella palla \( B(0,R+2r_0) \) e non inteseca la palla \( B(0,R-3r_0) \)
2) Dedurre che il numero di traslati \( \gamma + \textbf{P} \), \( \gamma \in \Gamma \) di \( \textbf{P} \) che sono contenuti in \( B(0,R) \) è della forma:
\[ \frac{ \pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} + O_{\Gamma}(R) \]
con \( O_{\Gamma}(R) \) una funzione di \(R \) dipendente da \( \Gamma \) in maniera che non specificheremo, e che verifica per \( R \geq 1 \)
\[ \begin{vmatrix} O_{\Gamma}(R) \end{vmatrix} \leq C'_{\Gamma} R \]
Per questo daremo una maggiorazione e una minorazione di questo numero e dimostraremo che la differenza tra la maggiorazione e la minorazione è \( O_{\Gamma}(R) \)
3) Dimostrare che il limite quando \( R \to + \infty \) esiste e vale \( \delta(\Gamma,r)= \frac{\pi r^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \)
per \( r \) che verifica \( ( \star) \)
4) Siano \( \gamma_0, \gamma_1 \in \Gamma \) tale che \( \Gamma= \mathbb{Z} \gamma_0 + \mathbb{Z} \gamma_1 \). Dimostrare che \( r_{\Gamma} = \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix}/2 \) è il raggio massimale tale che \( ( \star) \) sia verificato. Poniamo
\[ \delta(\Gamma)= \delta(\Gamma,r_{\Gamma}) = \frac{ \pi r_{\Gamma}^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \]
5) Dimostrare che \( \delta(\Gamma) \) non varie per rotazione o per omotetie del reticolo.
6) Possiamo dunque supporre che \( \Gamma = \Gamma_z = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}.z \) con \( z \in \mathcal{D}_{\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})} \). Dimostrare che \( \delta(\Gamma_z) \) è massimale per \( z = \omega_3 \) (il reticolo associato alla pavimentazione triangolare o esagonale o di un "alveare" ).
Soluzioni
1) Sia \( \textbf{P}' = \gamma + \textbf{P} \) il traslato del parallelogramma fondamentale \( \textbf{P} \) per \( \gamma \in \Gamma \). Supponiamo che \( \textbf{P}' \) interseca il cerchio \( C(0,R) \). La distanza tra qualsiasi due punti contenuti in \( \textbf{P}' \) è al più \( 2r_0 \). PErtanto se \( \textbf{P}' \) interseca \( C(0,R) \) allora la distanza tra qualsiasi punto di \( \textbf{P}' \) e l'origine è al più \( R+ 2r_0 \), e dunque \( \textbf{P}' \subset B(0,R+2r_0) \). Similmente nessun punto di \( \textbf{P}' \) interseca la palla \( B(0,R-3r_0) \).
2) Sia \( N \) il numero di parallelogrammi \( \gamma + \textbf{P} \) che sono contenuti in \( C(0,R) \). Per il punto 1) abbiamo che la superficie area dell unione di questi parallelogrammi contenuti in \( C(0,R) \) è uguale a \( \operatorname{Area}(\textbf{P})N \), che è limitato dal basso e rispettivamente dall alto dall'area di \( C(0,R-3r_0) \) e rispettivamente \( C(0,R+2r_0 ) \). Segue che
\[ \operatorname{Area}(C(0,R3r_0)) \leq \operatorname{Area}(\textbf{P})N \leq \operatorname{Area}(C(0,R+2r_0)) \]
\[ \Leftrightarrow \pi(R-3r_0)^2 \leq \operatorname{vol}(\Gamma)N \leq \pi(R+2r_0)^2 \]
e dopo diversi passaggi otteniamo
\[ \Leftrightarrow \frac{\pi(-6Rr_0 + 9 r_0^2)}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \leq N - \frac{\pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \leq \frac{\pi(4Rr_0+4r_0^2)}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \]
Rinominando \( A := N - \frac{\pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \) abbiamo pertanto che \( N = \frac{\pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} + A \), dove \( A \) è una funzione dipendente in \( R \) e da \( \Gamma \).
3) Dimostriamo che il limite \( \delta(\Gamma,r)= \lim\limits_{R \to + \infty} \frac{\operatorname{Area}(B(0,R)\cap \Gamma(r))}{\pi R^2} \) esiste per \(r \) che soddisfa la condizione \( (\star) \), e che vale \( \frac{\pi r^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \).
In accordo con la domanda precedente ci sono circa \( \frac{\pi r^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \) reticoli contenuti in \( C(0,R) \) Per ciascuno di questi punti abbiamo una palla di raggio \(r \) contenuta in \( C(0,R) \). La superficie di tutte queste palle è uguale a \( \frac{\pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \pi r^2 \) segue che
\[ \delta(\Gamma,r)= \lim\limits_{R \to + \infty} \frac{\operatorname{Area}(B(0,R)\cap \Gamma(r))}{\pi R^2} \sim \frac{\frac{\pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \pi r^2}{\pi R^2} \sim \frac{\pi r^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \]
4) Sia \( \gamma_0 , \gamma_1 \in \Gamma \) tale che \( \Gamma= \mathbb{Z} \gamma_0 + \mathbb{Z} \gamma_1 \). Supponiamo che \( \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix} \leq \begin{vmatrix} \gamma_1 \end{vmatrix} \). Allora il raggio \( r_{\Gamma} \) massimale, tale che \( (\star) \) è soddisfatto è \( r_{\Gamma}= \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix}/2 \). Quest può essere visto consdierando la translazione del parallelogramma fondamentale. Per avere un raggio \( r \) che soddisfa \( ( \star) \), una palla centrata in mezzo del perallalegromma ha bisogno di essere dentro al parallelogramma. Dunque abbiamo un raggio massimale di \( \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix}/2 \) dove \( \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix} \) denota il lato più piccolo del parallelogramma.
Definiamo \( \delta(\Gamma)= \delta(\Gamma,r_{\Gamma}) = \frac{\pi r_{\Gamma}^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \)
5) Vogliamo mostrare che \( \delta(\Gamma) \) non varia sotto trasformayione di omotetia e rotazione
Omotetia:
Sia il reticolo \( \alpha \Gamma \) definito da due vettori base \( \alpha \gamma_0 = (\alpha \gamma_{0,x} , \alpha \gamma_{0,y} ) \) e \( \alpha\gamma_1 \) per \( \alpha \in \mathbb{R} \). Abbiamo che
\( r_{\alpha \Gamma} = \frac{\begin{vmatrix} \alpha \gamma_0 \end{vmatrix}}{2} = \begin{vmatrix} \alpha \end{vmatrix} r_{\Gamma} \)
e
\( \operatorname{vol}(\alpha \Gamma) = \operatorname{Aerea}(P_{\alpha\gamma_0,\alpha \gamma_1}) = \begin{vmatrix} \alpha \gamma_0 \times \alpha \gamma_1 \end{vmatrix} = \alpha^2 \operatorname{vol}(\Gamma) \)
Dunque
\( \delta(\alpha \Gamma) = \delta(\alpha \Gamma, r_{\alpha \Gamma})= \delta(\Gamma) \)
Rotazione:
Sia \( M = \begin{bmatrix}
c &-s \\
s& c
\end{bmatrix} \in \operatorname{SO}_2(\mathbb{R}) \) la matrice della rotazione di angolo \( \theta \) con \( c= \cos(\theta), s = \sin(\theta) \). Abbiao che la rotazione del reticolo \( \Gamma \) è definita
\[ \Gamma_{rot} := M \Gamma = \mathbb{Z} M\gamma_0 + \mathbb{Z} M \gamma_1 \]
Quindi \( r_{\Gamma_{rot}}= r_{\Gamma} \)
Visto che la rotazione non cambia la lunghezza dei vettori. Inoltre
\( \operatorname{vol}(\Gamma_{rot}) = \operatorname{vol}(M\Gamma) = \begin{vmatrix} \det M \end{vmatrix} \operatorname{vol}(\Gamma) = \operatorname{vol}(\Gamma) \)
Visto che il determinante è \( \pm 1 \). Segue che
\( \delta(\Gamma_{rot}) = \delta(\Gamma) \)
6) Supponiamo che \( \Gamma= \Gamma_z = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} z \) con \( z \in \mathcal{D}_{\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})} \). dimostriamo che \( \delta(\Gamma_z) \) è massimale per \( z = \omega_3 = -1/2 \pm i \sqrt{3}/2 \). Il valore di \( r_{\Gamma_z} \) è definito dal valore del primo vettore della base, che è \( 1 \), e inoltre è indipendente da \( z \). Pertanto per avere \( \delta(\Gamma_z) \) massimale scegliamo \( z \) in modo tale che \( \operatorname{vol}(\Gamma_z) \) sia minimale.
Sia \( z= x+iy \) abbiamo che \( \operatorname{vol}(\Gamma_z)=y \) siccome \( \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} \geq 1 \). Segue che
\[ \sqrt{x^2+y^2} \geq 1 \Rightarrow y^2 \geq 1 - x^2 \]
e \( x^2 \in [0,(1/2)^2] \)
La parte immaginaria di \( y \) è minimale se \( x^2 \) è massimale, pertanto se \( x = \pm 1/2 \), e se la disequazione \( y^2 \geq 1 - x^2 \) è un eguaglianza, pertanto \( \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} = 1 \). In questo caso \( x= -1/2 \) e pertanto \( y= \sqrt{3}/2 \).
La dimostrazione è lunga ma non credo che per risolvere il mio dubbio sia necessario leggere tutto.
Edit: Inoltre non capisco come mai con \( z = \omega_3 \), il punto 6), abbiamo che \( \Gamma_z \) è associato alla pavimentazione triangolare o esagonale o ad alveare. (fine edit)
In questo esercizio andremo a discutere il problema di riempimento migliore possibile del piano con delle palle identiche che si toccano al più lungo uno dei loro bordi. È chiaro che non possiamo riempire tutto il piano esattamente ma possiamo cercare di fare il meglio possibile. Dato \( r >0 \) e \( \Gamma \) un reticolo definiamo.
\[ \Gamma(r) = \bigcup\limits_{\gamma \in \Gamma} B(\gamma,r) = \bigcup\limits_{\gamma \in \Gamma} \gamma + B(0,r) \]
L'unione delle palle aperte di raggio \(r \) centrate nel punto del reticolo \(B(\gamma,r) = \{ z \in \mathbb{C}, \begin{vmatrix} z-\gamma \end{vmatrix} < r \} \)
\( (\star) \) Supponiamo che le palle non si toccano, quindi \( r \) è tale che \( \gamma \neq \gamma' \in \Gamma \Rightarrow B(\gamma,r) \cap B(\gamma',r) = \emptyset \).
Per misurare la qualità di riempimento del piano per questo reticolo di palle \( \Gamma(r) \) introduciamo la densità di riempimento.
\[ \delta(\Gamma,r)= \lim\limits_{R \to + \infty} \frac{\operatorname{Area}(B(0,R)\cap \Gamma(r))}{\pi R^2}\]
Dove \( B(0,R) \) è la palla centrata in \( 0 \) e di raggio \( R \). Inoltre guardiamo il limite quando la palla diventa grande per la proporzione dell'area coperta nella palla dalle palle centrate nei punti del reticolo.
1) Sia \( (\gamma, \gamma') \) una base del reticolo, \( \textbf{P}= [-1/2,1/2[\gamma + [-1/2,1/2[ \gamma' \) il parallelogramma fondamentale corrispondente e \( \gamma + \textbf{P} \), \( \gamma \in \Gamma \) i suoi differenti traslati per i punti del reticolo. Diamo ugualmente \( r_0 > 0 \) tale che \( \textbf{P} \) sia contenuto dentro la palla \( B(0,r_0) \). Dimostrare che per \( R \geq 3r_0 \) l'unione di tutti i traslati \( \gamma + \textbf{P} \), \( \gamma \in \Gamma \) che intesecano il cerchio \( C(0,R) \) è contenuta nella palla \( B(0,R+2r_0) \) e non inteseca la palla \( B(0,R-3r_0) \)
2) Dedurre che il numero di traslati \( \gamma + \textbf{P} \), \( \gamma \in \Gamma \) di \( \textbf{P} \) che sono contenuti in \( B(0,R) \) è della forma:
\[ \frac{ \pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} + O_{\Gamma}(R) \]
con \( O_{\Gamma}(R) \) una funzione di \(R \) dipendente da \( \Gamma \) in maniera che non specificheremo, e che verifica per \( R \geq 1 \)
\[ \begin{vmatrix} O_{\Gamma}(R) \end{vmatrix} \leq C'_{\Gamma} R \]
Per questo daremo una maggiorazione e una minorazione di questo numero e dimostraremo che la differenza tra la maggiorazione e la minorazione è \( O_{\Gamma}(R) \)
3) Dimostrare che il limite quando \( R \to + \infty \) esiste e vale \( \delta(\Gamma,r)= \frac{\pi r^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \)
per \( r \) che verifica \( ( \star) \)
4) Siano \( \gamma_0, \gamma_1 \in \Gamma \) tale che \( \Gamma= \mathbb{Z} \gamma_0 + \mathbb{Z} \gamma_1 \). Dimostrare che \( r_{\Gamma} = \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix}/2 \) è il raggio massimale tale che \( ( \star) \) sia verificato. Poniamo
\[ \delta(\Gamma)= \delta(\Gamma,r_{\Gamma}) = \frac{ \pi r_{\Gamma}^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \]
5) Dimostrare che \( \delta(\Gamma) \) non varie per rotazione o per omotetie del reticolo.
6) Possiamo dunque supporre che \( \Gamma = \Gamma_z = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}.z \) con \( z \in \mathcal{D}_{\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})} \). Dimostrare che \( \delta(\Gamma_z) \) è massimale per \( z = \omega_3 \) (il reticolo associato alla pavimentazione triangolare o esagonale o di un "alveare" ).
Soluzioni
1) Sia \( \textbf{P}' = \gamma + \textbf{P} \) il traslato del parallelogramma fondamentale \( \textbf{P} \) per \( \gamma \in \Gamma \). Supponiamo che \( \textbf{P}' \) interseca il cerchio \( C(0,R) \). La distanza tra qualsiasi due punti contenuti in \( \textbf{P}' \) è al più \( 2r_0 \). PErtanto se \( \textbf{P}' \) interseca \( C(0,R) \) allora la distanza tra qualsiasi punto di \( \textbf{P}' \) e l'origine è al più \( R+ 2r_0 \), e dunque \( \textbf{P}' \subset B(0,R+2r_0) \). Similmente nessun punto di \( \textbf{P}' \) interseca la palla \( B(0,R-3r_0) \).
2) Sia \( N \) il numero di parallelogrammi \( \gamma + \textbf{P} \) che sono contenuti in \( C(0,R) \). Per il punto 1) abbiamo che la superficie area dell unione di questi parallelogrammi contenuti in \( C(0,R) \) è uguale a \( \operatorname{Area}(\textbf{P})N \), che è limitato dal basso e rispettivamente dall alto dall'area di \( C(0,R-3r_0) \) e rispettivamente \( C(0,R+2r_0 ) \). Segue che
\[ \operatorname{Area}(C(0,R3r_0)) \leq \operatorname{Area}(\textbf{P})N \leq \operatorname{Area}(C(0,R+2r_0)) \]
\[ \Leftrightarrow \pi(R-3r_0)^2 \leq \operatorname{vol}(\Gamma)N \leq \pi(R+2r_0)^2 \]
e dopo diversi passaggi otteniamo
\[ \Leftrightarrow \frac{\pi(-6Rr_0 + 9 r_0^2)}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \leq N - \frac{\pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \leq \frac{\pi(4Rr_0+4r_0^2)}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \]
Rinominando \( A := N - \frac{\pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \) abbiamo pertanto che \( N = \frac{\pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} + A \), dove \( A \) è una funzione dipendente in \( R \) e da \( \Gamma \).
3) Dimostriamo che il limite \( \delta(\Gamma,r)= \lim\limits_{R \to + \infty} \frac{\operatorname{Area}(B(0,R)\cap \Gamma(r))}{\pi R^2} \) esiste per \(r \) che soddisfa la condizione \( (\star) \), e che vale \( \frac{\pi r^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \).
In accordo con la domanda precedente ci sono circa \( \frac{\pi r^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \) reticoli contenuti in \( C(0,R) \) Per ciascuno di questi punti abbiamo una palla di raggio \(r \) contenuta in \( C(0,R) \). La superficie di tutte queste palle è uguale a \( \frac{\pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \pi r^2 \) segue che
\[ \delta(\Gamma,r)= \lim\limits_{R \to + \infty} \frac{\operatorname{Area}(B(0,R)\cap \Gamma(r))}{\pi R^2} \sim \frac{\frac{\pi R^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \pi r^2}{\pi R^2} \sim \frac{\pi r^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \]
4) Sia \( \gamma_0 , \gamma_1 \in \Gamma \) tale che \( \Gamma= \mathbb{Z} \gamma_0 + \mathbb{Z} \gamma_1 \). Supponiamo che \( \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix} \leq \begin{vmatrix} \gamma_1 \end{vmatrix} \). Allora il raggio \( r_{\Gamma} \) massimale, tale che \( (\star) \) è soddisfatto è \( r_{\Gamma}= \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix}/2 \). Quest può essere visto consdierando la translazione del parallelogramma fondamentale. Per avere un raggio \( r \) che soddisfa \( ( \star) \), una palla centrata in mezzo del perallalegromma ha bisogno di essere dentro al parallelogramma. Dunque abbiamo un raggio massimale di \( \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix}/2 \) dove \( \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix} \) denota il lato più piccolo del parallelogramma.
Definiamo \( \delta(\Gamma)= \delta(\Gamma,r_{\Gamma}) = \frac{\pi r_{\Gamma}^2}{\operatorname{vol}(\Gamma)} \)
5) Vogliamo mostrare che \( \delta(\Gamma) \) non varia sotto trasformayione di omotetia e rotazione
Omotetia:
Sia il reticolo \( \alpha \Gamma \) definito da due vettori base \( \alpha \gamma_0 = (\alpha \gamma_{0,x} , \alpha \gamma_{0,y} ) \) e \( \alpha\gamma_1 \) per \( \alpha \in \mathbb{R} \). Abbiamo che
\( r_{\alpha \Gamma} = \frac{\begin{vmatrix} \alpha \gamma_0 \end{vmatrix}}{2} = \begin{vmatrix} \alpha \end{vmatrix} r_{\Gamma} \)
e
\( \operatorname{vol}(\alpha \Gamma) = \operatorname{Aerea}(P_{\alpha\gamma_0,\alpha \gamma_1}) = \begin{vmatrix} \alpha \gamma_0 \times \alpha \gamma_1 \end{vmatrix} = \alpha^2 \operatorname{vol}(\Gamma) \)
Dunque
\( \delta(\alpha \Gamma) = \delta(\alpha \Gamma, r_{\alpha \Gamma})= \delta(\Gamma) \)
Rotazione:
Sia \( M = \begin{bmatrix}
c &-s \\
s& c
\end{bmatrix} \in \operatorname{SO}_2(\mathbb{R}) \) la matrice della rotazione di angolo \( \theta \) con \( c= \cos(\theta), s = \sin(\theta) \). Abbiao che la rotazione del reticolo \( \Gamma \) è definita
\[ \Gamma_{rot} := M \Gamma = \mathbb{Z} M\gamma_0 + \mathbb{Z} M \gamma_1 \]
Quindi \( r_{\Gamma_{rot}}= r_{\Gamma} \)
Visto che la rotazione non cambia la lunghezza dei vettori. Inoltre
\( \operatorname{vol}(\Gamma_{rot}) = \operatorname{vol}(M\Gamma) = \begin{vmatrix} \det M \end{vmatrix} \operatorname{vol}(\Gamma) = \operatorname{vol}(\Gamma) \)
Visto che il determinante è \( \pm 1 \). Segue che
\( \delta(\Gamma_{rot}) = \delta(\Gamma) \)
6) Supponiamo che \( \Gamma= \Gamma_z = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} z \) con \( z \in \mathcal{D}_{\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})} \). dimostriamo che \( \delta(\Gamma_z) \) è massimale per \( z = \omega_3 = -1/2 \pm i \sqrt{3}/2 \). Il valore di \( r_{\Gamma_z} \) è definito dal valore del primo vettore della base, che è \( 1 \), e inoltre è indipendente da \( z \). Pertanto per avere \( \delta(\Gamma_z) \) massimale scegliamo \( z \) in modo tale che \( \operatorname{vol}(\Gamma_z) \) sia minimale.
Sia \( z= x+iy \) abbiamo che \( \operatorname{vol}(\Gamma_z)=y \) siccome \( \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} \geq 1 \). Segue che
\[ \sqrt{x^2+y^2} \geq 1 \Rightarrow y^2 \geq 1 - x^2 \]
e \( x^2 \in [0,(1/2)^2] \)
La parte immaginaria di \( y \) è minimale se \( x^2 \) è massimale, pertanto se \( x = \pm 1/2 \), e se la disequazione \( y^2 \geq 1 - x^2 \) è un eguaglianza, pertanto \( \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} = 1 \). In questo caso \( x= -1/2 \) e pertanto \( y= \sqrt{3}/2 \).
Risposte
Un attimo solo, ma chi è \(\omega_3\)?
Quanto al raggio ottimale, mi pare che uno dei punti dell'esercizio è proprio dimostrare cosa succede per omotetia. Questo punto dovrebbe rispondere alla tua domanda
Per curiosità, che docente ha dato questo esercizio?
Quanto al raggio ottimale, mi pare che uno dei punti dell'esercizio è proprio dimostrare cosa succede per omotetia. Questo punto dovrebbe rispondere alla tua domanda
Ma non capisco se la disposizione è indipendente o dipendente dal raggio e in tal caso se mi da anche il raggio ottimale.
Per curiosità, che docente ha dato questo esercizio?
In effetti... \( \omega_3 = -1/2 \pm i \sqrt{3}/2 \) l'ho scritto sotto e dopo quando ho fatto l'edit avevo già in testa la scrittura sotto 
Quindi è indipendente dal raggio siccome per omotetie \( \delta(\Gamma) \) non varia, ma quindi il raggio ottimale sarebbe \( r_{\Gamma_z} \) ?
[ot]Comunque il professore si chiama Philippe Michel, come mai?[/ot]
Quindi è indipendente dal raggio siccome per omotetie \( \delta(\Gamma) \) non varia, ma quindi il raggio ottimale sarebbe \( r_{\Gamma_z} \) ?
[ot]Comunque il professore si chiama Philippe Michel, come mai?[/ot]
"3m0o":
In effetti... \( \omega_3 = -1/2 \pm i \sqrt{3}/2 \) l'ho scritto sotto e dopo quando ho fatto l'edit avevo già in testa la scrittura sotto
Quindi è indipendente dal raggio siccome per omotetie \( \delta(\Gamma) \) non varia, ma quindi il raggio ottimale sarebbe \( r_{\Gamma_z} \) ?
In effetti non mi è molto chiaro. Io capisco che il raggio massimale è \(r_{\Gamma_z}\), posto che la prima componente del reticolo sia 1, nel senso che \(\Gamma=\mathbb Z + \mathbb Z \omega\).
[ot]
Comunque il professore si chiama Philippe Michel, come mai?
Ma niente, proprio in questi giorni stavo leggendo qualcosa di Maryna Viazovska, che dovrebbe essere proprio nel tuo ateneo se non sbaglio.[/ot]
Ho capito. Quando hai scritto che, dato \(\Gamma=\mathbb Z \gamma_0 + \mathbb Z \gamma_1\), il raggio \(r_\Gamma\) è \(\lvert \gamma_0\rvert /2\), hai sicuramente dimenticato di specificare che \(\lvert \gamma_0\rvert\le \lvert \gamma_1\rvert\), sbaglio?
Si \( \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix} \leq \begin{vmatrix} \gamma_1 \end{vmatrix} \).
Il fatto è che okay se \( \Gamma_z = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \omega_3 \) allora il raggio massimale è \( r_{\Gamma_z} \) ma io mi chiedevo se ci fosse un raggio ottimale indipendentemente dal reticolo \( \Gamma \).
[ot]Per caso stavi leggendo la sua dimostrazione del impacchettamento di sfere a 8 e 24 dimensioni?
Si comunque sarà mia professoressa di matematica discreta e di topologia il terzo e il quarto semestre.[/ot]
Il fatto è che okay se \( \Gamma_z = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \omega_3 \) allora il raggio massimale è \( r_{\Gamma_z} \) ma io mi chiedevo se ci fosse un raggio ottimale indipendentemente dal reticolo \( \Gamma \).
[ot]Per caso stavi leggendo la sua dimostrazione del impacchettamento di sfere a 8 e 24 dimensioni?
Si comunque sarà mia professoressa di matematica discreta e di topologia il terzo e il quarto semestre.[/ot]
Si, effettivamente sto leggendo qualcosa della serie di articoli della Viazovska su impacchettamento di sfere e configurazioni ottime in dimensione 8 e 24.
Comunque il raggio ottimale non c'è. La densità di riempimento, infatti, è invariante per omotetie.
Comunque il raggio ottimale non c'è. La densità di riempimento, infatti, è invariante per omotetie.
Ah ma tra l'altro, vedo che tu stesso lo hai scritto.
Il tuo obiettivo è trovare un reticolo che massimizza \(\delta(\Gamma)\). Ogni reticolo \(\Gamma\) viene con un raggio \(r_\Gamma\); la tua domanda allora è: "quanto vale \(r_\Gamma\) se \(\Gamma\) massimizza \(\delta(\Gamma)\)"?
Ma questa domanda non è ben posta. Infatti, se \(\Gamma\) massimizza \(\delta(\Gamma)\), anche \(\lambda\Gamma\) massimizza \(\delta(\Gamma)\) (qui \(\lambda >0\)). Ma \(r_{\lambda \Gamma}=\lambda r_\Gamma\).
5) Dimostrare che \(\delta(\Gamma)\) non varia per rotazione o omotetie
Il tuo obiettivo è trovare un reticolo che massimizza \(\delta(\Gamma)\). Ogni reticolo \(\Gamma\) viene con un raggio \(r_\Gamma\); la tua domanda allora è: "quanto vale \(r_\Gamma\) se \(\Gamma\) massimizza \(\delta(\Gamma)\)"?
Ma questa domanda non è ben posta. Infatti, se \(\Gamma\) massimizza \(\delta(\Gamma)\), anche \(\lambda\Gamma\) massimizza \(\delta(\Gamma)\) (qui \(\lambda >0\)). Ma \(r_{\lambda \Gamma}=\lambda r_\Gamma\).
Okay, ma intuitivamente mi sembra strano. Da quello che ho capito per semplificare il tutto quello che faccio è: Prendo un parallelogramma fondamentale (diremo un quadratino di lato 1 cm per capirici anche se non è questo quello che massimizza la densità di riempimento), e ci creo un reticolo per pavimentare l'intero piano. Poi all interno di ogni quadratino ci faccio un cerchio di raggio uguale alla metà del lato più piccolo e calcolo la densità di riempimento.
Quindi se voglio coprire un quadrato di lato 10 cm, ho 100 cerchi ciascuno di area \( \pi/4\) \( cm^2\) pertanto la superficie totale ricoperta da essi sarà di \( 25 \pi \) \( cm^2 \).
Siccome è invariante per omotetia se prendiamo un parallelogramma fondamentale di 2cm e dei cerchi di raggio 1 cm abbiamo 25 cerchi di raggio \( 1 \) cm e di area \( \pi \) \(cm^2\). Quindi la superficie totale ricoperta è di \( 25 \pi \) \(cm^2 \)... ed effettivamente ricoprono la stessa superficie. Mi stai dicendo che va bene qualsiasi raggio^1 e ricopriranno tutti \( 25 \pi \) \(cm^2 \) ? È giusta l'idea di base? Solo che siccome è l'intero piano devo calcolare la densità di riempimento invece della superficie ricoperta.
Nota 1: Basterbbe un cerchio di raggio 10 cm per ricoprire tutta la superficie di 100 cm^2 e anche di più, però abbiamo preso una superficie chiusa e non l'intero piano per capirci, infatti 25 cerchi di raggio 10 cm coprono la stessa superficie di 2500 cerchi di raggio 1/2 cm.
Quindi se voglio coprire un quadrato di lato 10 cm, ho 100 cerchi ciascuno di area \( \pi/4\) \( cm^2\) pertanto la superficie totale ricoperta da essi sarà di \( 25 \pi \) \( cm^2 \).
Siccome è invariante per omotetia se prendiamo un parallelogramma fondamentale di 2cm e dei cerchi di raggio 1 cm abbiamo 25 cerchi di raggio \( 1 \) cm e di area \( \pi \) \(cm^2\). Quindi la superficie totale ricoperta è di \( 25 \pi \) \(cm^2 \)... ed effettivamente ricoprono la stessa superficie. Mi stai dicendo che va bene qualsiasi raggio^1 e ricopriranno tutti \( 25 \pi \) \(cm^2 \) ? È giusta l'idea di base? Solo che siccome è l'intero piano devo calcolare la densità di riempimento invece della superficie ricoperta.
Nota 1: Basterbbe un cerchio di raggio 10 cm per ricoprire tutta la superficie di 100 cm^2 e anche di più, però abbiamo preso una superficie chiusa e non l'intero piano per capirci, infatti 25 cerchi di raggio 10 cm coprono la stessa superficie di 2500 cerchi di raggio 1/2 cm.
Nel definire \(\delta(\Gamma)\), si fa quel limite \(R\to \infty\) proprio per rendere \(\delta\) invariante per cambi di scala.
Fisicamente lo vedi subito; la grandezza \(r^2\) a numeratore si può misurare in metri quadri o in qualsiasi altra unità di misura dell'area, ma lo stesso vale per \(\lvert \Gamma\rvert\) a denominatore, quindi il risultato non dipende dalla scelta di una unità di misura.
Fisicamente lo vedi subito; la grandezza \(r^2\) a numeratore si può misurare in metri quadri o in qualsiasi altra unità di misura dell'area, ma lo stesso vale per \(\lvert \Gamma\rvert\) a denominatore, quindi il risultato non dipende dalla scelta di una unità di misura.
Capito. E per quanto riguarda il reticolo \( \Gamma_z = \mathbb{Z} + \omega_3 \mathbb{Z} \) è associato a quello esangonale siccome il parallelogramma fondamentale di questo reticolo è un parallelogramma ABCD i cui vertici hanno coordinate \( A(0,0) \), \( B(1,0) \), \( C(1/2, \sqrt{3}/2) \) e \( D(-1/2, \sqrt{3}/2) \) ? E dunque riempiendo lo spazio con questo reticolo e inscrivendoci al loro interno una palla di raggio \( r_{\Gamma_z} \) ottengo la disposizione ad "alveare" o "esagonale" ?
Si, ma non lo hai detto bene. L'unica cosa che dovevi dire è che i punti B, C, D, -B, -C, -D appartengono al reticolo e sono i vertici di un esagono regolare. Pertanto il reticolo si dice esagonale.
Scusami perché l'ho detto male? Io ho sempre visto un reticolo come una pavimentazione, in questo caso di \( \mathbb{R}^2 \), utilizzando un parallelogramma fondamentale? Non è il parallelogramma da me citato quello fondamentale? E non come dei punti che appartanegono al reticolo anche perché se è una pavimentazione di \( \mathbb{R}^2 \) dovrebbero appartenere tutti i punti al reticolo. Sbaglio?
Vabbè, è questione di interpretazione. Per definizione, un reticolo è un sottogruppo additivo di R^2. Il reticolo di cui parliamo in questo thread contiene i vertici di un esagono regolare con centro nell'origine, ecco perché si chiama "esagonale". Poi, che tu lo interpreti come parallelogramma fondamentale, come pavimentazione, o in qualsiasi altra maniera, è un altro discorso, che qui non è molto rilevante.
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