Immersione che è diffeomorfismo locale
Ciao, amici!
Trovo scritto sul Sernesi che se $f:X\to Y$ è un'immersione in un punto $x\in X$ allora \(\dim(X)\leq\dim(Y)\).
Questo direi che derivi dal fatto che, essendo il differenziale \(f_{\ast x}:T_x (X)\to T_{f(x)}(Y)\) un'applicazione lineare, abbiamo che \(\dim(\ker f_{\ast x})+\dim(\text{Im}(f_{\ast x}))=\dim(T_x (X))\), alla luce del fatto che \(\dim(X)=\dim(T_x (X))\) e \(\dim(Y)=\dim(T_{f(x)} (Y))\).
Il mio testo prosegue dicendo che, se vale l'uguaglianza \(\dim(X)=\dim(Y)\), allora $f$ è un diffeomorfismo locale.
Ciò mi sembra derivare dal teorema, poche pagine prima enunciato, secondo cui per un morfismo $f:X\to Y$, il differenziale \(f_{\ast x}:T_x (X)\to T_{f(x)}(Y)\) è un isomorfismo in $x\in X$ se e solo se $f$ è un diffeomorfismo locale di classe \(\text{C}^{(1)}\) in $x$.
Ora, normalmente, quando il Sernesi parla di diffeomorfismi sottintende che siano di classe \(\text{C}^{\infty}\), ma in questa situazione direi che, se $f:X\to Y$ è un'immersione in un punto $x\in X$ e \(\dim(X)=\dim(Y)\), allora $f$ è un diffeomorfismo locale di classe \(\text{C}^{(1)}\) -anche se non necessariamente \(\text{C}^{\infty}\)-, giusto?
Quando si parlava di eccessiva concisione dei testi nella sezione Docenti...
Grazie di cuore a tutti!!!
Trovo scritto sul Sernesi che se $f:X\to Y$ è un'immersione in un punto $x\in X$ allora \(\dim(X)\leq\dim(Y)\).
Questo direi che derivi dal fatto che, essendo il differenziale \(f_{\ast x}:T_x (X)\to T_{f(x)}(Y)\) un'applicazione lineare, abbiamo che \(\dim(\ker f_{\ast x})+\dim(\text{Im}(f_{\ast x}))=\dim(T_x (X))\), alla luce del fatto che \(\dim(X)=\dim(T_x (X))\) e \(\dim(Y)=\dim(T_{f(x)} (Y))\).
Il mio testo prosegue dicendo che, se vale l'uguaglianza \(\dim(X)=\dim(Y)\), allora $f$ è un diffeomorfismo locale.
Ciò mi sembra derivare dal teorema, poche pagine prima enunciato, secondo cui per un morfismo $f:X\to Y$, il differenziale \(f_{\ast x}:T_x (X)\to T_{f(x)}(Y)\) è un isomorfismo in $x\in X$ se e solo se $f$ è un diffeomorfismo locale di classe \(\text{C}^{(1)}\) in $x$.
Ora, normalmente, quando il Sernesi parla di diffeomorfismi sottintende che siano di classe \(\text{C}^{\infty}\), ma in questa situazione direi che, se $f:X\to Y$ è un'immersione in un punto $x\in X$ e \(\dim(X)=\dim(Y)\), allora $f$ è un diffeomorfismo locale di classe \(\text{C}^{(1)}\) -anche se non necessariamente \(\text{C}^{\infty}\)-, giusto?
Quando si parlava di eccessiva concisione dei testi nella sezione Docenti...
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Anche per quanto riguarda le summersioni, trovo sul Sernesi (p. 221) che, se \(\dim(X)=\dim(Y)\) una summersione $f$ in $x\in X$ è un diffeomorfismo locale in $x$ e ciò mi sembra ancora una volta derivare dal teorema fondamentale dell'algebra lineare applicato al differenziale \(f_{\ast x}\), cioè dalle dimensioni \(\dim(\ker f_{\ast x})+\dim(\text{Im}(f_{\ast x}))=\dim(T_x (X))\), unito al fatto che, per un morfismo $ f:X\to Y $, il differenziale \( f_{\ast x}:T_x (X)\to T_{f(x)}(Y) \) è un isomorfismo in $ x\in X $ ,solo se $ f $ è un diffeomorfismo locale di classe \( \text{C}^{(1)} \) in $ x$ (ma non per forza \( \text{C}^{(\infty)} \)).
Quindi direi ancora una volta che, se \(\dim(X)=\dim(Y)\), una summersione $f$ in $x\in X$ è un diffeomorfismo locale di classe \( \text{C}^{(1)} \) in $x$ (ma non necessariamente \( \text{C}^{(\infty)} \)). Concordate?
Grazie\(\text{}^\infty\) a chiunque interverrà!!!
Quindi direi ancora una volta che, se \(\dim(X)=\dim(Y)\), una summersione $f$ in $x\in X$ è un diffeomorfismo locale di classe \( \text{C}^{(1)} \) in $x$ (ma non necessariamente \( \text{C}^{(\infty)} \)). Concordate?
Grazie\(\text{}^\infty\) a chiunque interverrà!!!
Ti insegno un'altra cosa: ogni geometra differenziale definisce le immersioni, le immersioni regolari e le summersioni a modo suo; quindi ti conviene esporre qualche definizione! 
Inoltre, che sono i diffeomorfismi di classe \(C^{(1)}\)?
Inoltre, che sono i diffeomorfismi di classe \(C^{(1)}\)?
"j18eos":
Ti insegno un'altra cosa: ogni geometra differenziale definisce le immersioni, le immersioni regolari e le summersioni a modo suo
Grazie per dirmelo! Mi sarei confuso ancor di più le idee leggendo materiali altrove...Un ostacolo in più nelle ricerche che stavo facendo per chiarirmi le idee in merito.
Il Sernesi definisce così le immersioni e le summersioni:
Immersione: Un morfismo di varietà differenziabili $f:X\to Y$ è un'immersione nel punto $x\in X$ se \(f_{\ast x}:T_x(X)\to T_{f(x)}(Y)\) [il differenziale in $x$] è iniettivo. $f$ è un'immersione se è un'immersione in ogni $x\in X$.
Summersione: Un morfismo di varietà differenziabili $f:X\to Y$ è una summersione nel punto $x\in X$ se \(f_{\ast x}:T_x(X)\to T_{f(x)}(Y)\) è suriettivo; $f$ è una summersione se è una summersione in ogni $x\in X$.
"j18eos":
che sono i diffeomorfismi di classe \(C^{(1)}\)?
Omeomorfismi con tutte le derivate parziali prime continue in un aperto contentente il punto in cui sono calcolati. \(\text{C}^{(\infty)}\) se sono continue le derivate parziali di qualunque ordine.
Mi sono trovato una volta ancora oggi pomeriggio con lo stesso problema per la dimostrazione del fatto che, se $f:X\to Y$ è una summersione in $x\in X$ e \(y=f(x)\), allora \(f^{-1}(y)\) è una sottovarietà differenziabile di $X$ di dimensione \(\dim (X)-\dim (Y)\), perché, 44 pagine prima, l'autore dice che, senz'altro specificare, averebbe sottinteso diffeomorfismi, varietà e applicazioni differenziabili di classe \(\text{C}^{(\infty)}\) (nel caso della varietà questo significa, secondo il linguaggio del Sernesi, con struttura definita da un atlante di carte locali differenzialmente compatibili di classe \(\text{C}^{(\infty)}\)) e nell'enunciare questo teorema dice che, sotto le suddette ipotesi, allora \(f^{-1}(y)\) è una sottovarietà differenziabile di $X$ senz'altro aggiungere, come se si trattasse -secondo il sottinteso preannunciato 44 pagine prima- di una sottovarietà differenziabile di classe \(\text{C}^{(\infty)}\), mentre nella dimostrazione si applica il teorema di inversione locale, in un modo che mi induce a capire che, sotto le ipotesi del teorema, allora \(f^{-1}(y)\) è una sottovarietà differenziabile di $X$ di classe \(\text{C}^{(1)}\). Forse l'utilizzo nella dimostrazione di risultati riguardanti la classe solo \(\text{C}^{(1)}\) invece che \(\text{C}^{(\infty)}\) è un modo per specificare altro, come mi confermano Maci86 e dissonance per un altro teorema...?
Grazie di cuore per essere intervenuto...
Ma lascia stare quella storia della classe $C^1$, Davide. Ora non ho il libro con me, ma comunque sono certo che Sernesi si mette nella categoria $C^\infty$ e non ne esce mai. Quindi quando leggi "funzione differenziabile" significa "funzione di classe $C^\infty$", quando leggi "teorema della funzione inversa" significa "versione $C^\infty$ del teorema della funzione inversa", e così via. Non ti complicare la vita con questi dettagli altrimenti non ne esci più: queste cose sono già abbastanza difficili così.
Aggiungo una nota sulle definizioni. Effettivamente è vero che autori diversi usano definizioni diverse, ma solo nelle sfumatura. L'idea di fondo è sempre la stessa. Una "immersione" è una mappa che "assomiglia localmente" alla mappa
\[
(x_1\ldots x_n)\mapsto (x_1\ldots x_n, 0 \ldots 0).
\]
Esempi di mappe così sono l'inclusione dell'asse delle $x$ nel piano o del piano $xz$ nello spazio tridimensionale. Similmente, una "summersione" è una mappa che "assomiglia localmente" alla mappa
\[
(x_1\ldots x_n, x_{n+1}\ldots x_N)\mapsto (x_1\ldots x_n)
\]
Esempi di mappe così sono la proiezione del piano sull'asse delle $x$ o la proiezione dello spazio tridimensionale sul piano $xz$.
Aggiungo una nota sulle definizioni. Effettivamente è vero che autori diversi usano definizioni diverse, ma solo nelle sfumatura. L'idea di fondo è sempre la stessa. Una "immersione" è una mappa che "assomiglia localmente" alla mappa
\[
(x_1\ldots x_n)\mapsto (x_1\ldots x_n, 0 \ldots 0).
\]
Esempi di mappe così sono l'inclusione dell'asse delle $x$ nel piano o del piano $xz$ nello spazio tridimensionale. Similmente, una "summersione" è una mappa che "assomiglia localmente" alla mappa
\[
(x_1\ldots x_n, x_{n+1}\ldots x_N)\mapsto (x_1\ldots x_n)
\]
Esempi di mappe così sono la proiezione del piano sull'asse delle $x$ o la proiezione dello spazio tridimensionale sul piano $xz$.
Sì, sono decisamente d'accordo con @dissonance... Non complicarti la vita con tutta questa distinzione tra classe \( C^1 \) e \( C^{\infty} \). Cioè, se tu stai lavorando con varietà smooth (di classe \( C^{\infty} \)), allora un morfismo \( f \colon X \to Y \) è da intendersi di classe \( C^{\infty} \), quindi per quale ragione dovrebbe perdere regolarità quando lo si riguarda come un diffeomorfismo locale in un punto?
Grazie proprio di cuore, dissonance e s.stuv!!!!!
"dissonance":
"versione $C^\infty$ del teorema della funzione inversa"
Dalla versione \(\text{C}^1\) e dal fatto che se $f:X\to Y$ è un diffeomorfismo allora per ogni $p\in X$ il differenziale \(f_{\ast p}:T_p(X)\to T_{f(p)}(Y)\) è un isomorfismo (corollario 22.2 a p. 196 di E. Sernesi, Geometria II) deriva, se non erro, che, se \(F:U\to\mathbb{R}^n\), con $U\subset\mathbb{R}^n$ aperto, è un'applicazione di classe \(\text{C}^{(\infty)}\) ed esiste \(\mathbf{a}\in U\) tale che il differenziale \(F_{\ast\mathbf{a}}\) sia un isomorfismo, allora esiste un aperto \(V\subset U\) contenente \(\mathbf{a}\) tale che \(F(V)\) è aperto e la restrizione \(F_{|V}:V\to F(V)\) è un diffeomorfismo di classe \(\text{C}^{(\infty)}\)!Da questo mi pare proprio che tornino tutte le dimostrazioni del Sernesi su immersioni e summersioni con validità per le classi \(\text{C}^{(\infty)}\)!
\(\infty\) grazie ancora: mi hai salvato dall'emicrania!!!!!
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