Immagine(Im f) e Nucleo (Ker f)

[Needhana]

Salve .
Il mio problema è il seguente.

Per ogni $a in R$ si consideri il seguente endomorfismo dello spazio vettoriale standard $R^3$

$f : R^3 rarr R^3 f(x,y,z)=(x+y+2az, ay+2z, -y+(a-3)z)$

1) Si scriva la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base naturale di $R^3$ (e l'ho fatto)

$f(1,0,0) rarr (1,0,0)
$f(0,1,0) rarr (1,a,-1)
$f(0,0,1) rarr (2a,2,a-3)

Quindi una base di $Im f$ sarà $B(1,0,0)(1,a,-1)(2a,2,a-3)$

DOMANDA
Si dica per quali valori di "a in R" il vettore $vec v(1,2,-1)$ verifica la seguente condizione:

1) $vec v in Im f$

risposta: quello che devo fare è vedere solo se questo vettore DIPENDE dai vettori della base dell'immagine?????

2) $vec v in Im f$ e contemporaneamente $ker f$ è nullo. ????????? non ne ho idea

[klarence1]

"Needhana":
Quindi una base di $Im f$ sarà $B(1,0,0)(1,a,-1)(2a,2,a-3)$

Questo non è detto... quello è sicuramente un sistema di generatori dell'immagine ma non è detto che sia una base (non è garantita la lineare indipendenza).

"Needhana":
DOMANDA
Si dica per quali valori di "a in R" il vettore $vec v(1,2,-1)$ verifica la seguente condizione:

1) $vec v in Im f$

Devi vedere per quali valori di $a$ esiste una combinazione lineare del sistema di generatori dell'immagine tali che questa combinazione da $v$.

"Needhana":
2) $vec v in Im f$ e contemporaneamente $ker f$ è nullo. ????????? non ne ho idea

La funzione va da uno spazio di dimensione 3 ad uno di dimensione 3, l'iniettività (che significa $ker={vecO}$) quindi implica la bigettività e per tanto automaticamente $vec v$ appartiene a $Im f$. Basta quindi imporre che i tre vettori immagine dei vettori della base siano linearmente indipendenti.

[Needhana]

Quindi : Allora la matrice si annulla per $a in (1,2)$ e quindi è linearmente dipendente, in questo caso procedo eliminando il vettore linearmente dipendente. Quindi il vettore $vec v$ appartiene all'immagine di f se e solo se e combinazione lineare di questi vettori, cioe se e solo se la
matrice

$((1,1,1),(0,a,2),(0,-1,-1))$

ha rango 2, cioe determinante 0. Questa matrice ha determinante $-a+2$ che si annulla se e solo se $a=2$ GIUSTO????

Quindi se invece $a notin (1,2)$ il $Ker f = 0 $ ALLORA è OK?


grazie mille

[klarence1]

Si è ok.... ora trai le conclusioni.

[Needhana]

Conclusioni

Per $a=2$ il vettore $vec in Im f$

La domanda l'ho sbagliata ! era :
per quali valori di a $v in Imf$ e contemporaneamente NON nullO! scusami tanto!!!

[Needhana]

Per $a=2$ il $ker f $ è non Nullo e il vettore appartiene all'immagine. giusto ?