Immagine, nucleo, applicazione nulla
Date le applicazioni lineari $ S : V rarr W $ e $
T : W rarr Z $ , dove V,W,Z sono tre spazi vettoriali
differenti. Cosa posso dire dell’applicazione (lineare?) T composto S, sapendo che ker T = Im S?
Soluzione: Per ogni v 2 V , T composto S(v) = T(w) dove w 2 Im S, ma poich`e Im S = ker T vale T(w) = 0 e quindi
ho trovato che per ogni v 2 V vale T composto S(v) = 0, quindi T composto S `e l’applicazione nulla.
Non riesco a capire perchè ker T = Im S implica che T(w) = 0
T : W rarr Z $ , dove V,W,Z sono tre spazi vettoriali
differenti. Cosa posso dire dell’applicazione (lineare?) T composto S, sapendo che ker T = Im S?
Soluzione: Per ogni v 2 V , T composto S(v) = T(w) dove w 2 Im S, ma poich`e Im S = ker T vale T(w) = 0 e quindi
ho trovato che per ogni v 2 V vale T composto S(v) = 0, quindi T composto S `e l’applicazione nulla.
Non riesco a capire perchè ker T = Im S implica che T(w) = 0
Risposte
Perche' $w = S(v)$ e quindi $w \in \Im (S)$. Ma siccome $\ker (T) = \Im (S)$, se applichi $T$ a qualunque cosa in $\Im(S)$, ottieni proprio $0$..
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