Immagine, kernel e base
Salve a tutti!
Avrei bisogno di alcuni chiarimenti per quanto riguarda le basi, il kernel e l'immagine di una matrice o dei vettori. Ho letto il post che è in evidenza ma forse perchè ho le idee troppo confuse o perchè ho delle lacune nell'algebra lineare non ho risolto i miei dubbi.
Allora, da quello che ho capito la dimensione del kernel è il numero di vettori che compongono la base, ovvero il numero di vettori linearmente indipendenti, è giusto? E la dimensione del kernel e l'immagine sono la stessa cosa?
Infine vorrei chiedervi, come si fa a trovare l'immagine di un vettore?
Grazie mille a chi volesse aiutarmi, scusate se ho fatto sempre le solite domande ma come vi ho detto ho le idee molto confuse e anche andando a cercare su internet non sono riuscita a chiarirmi le idee.
Avrei bisogno di alcuni chiarimenti per quanto riguarda le basi, il kernel e l'immagine di una matrice o dei vettori. Ho letto il post che è in evidenza ma forse perchè ho le idee troppo confuse o perchè ho delle lacune nell'algebra lineare non ho risolto i miei dubbi.
Allora, da quello che ho capito la dimensione del kernel è il numero di vettori che compongono la base, ovvero il numero di vettori linearmente indipendenti, è giusto? E la dimensione del kernel e l'immagine sono la stessa cosa?
Infine vorrei chiedervi, come si fa a trovare l'immagine di un vettore?
Grazie mille a chi volesse aiutarmi, scusate se ho fatto sempre le solite domande ma come vi ho detto ho le idee molto confuse e anche andando a cercare su internet non sono riuscita a chiarirmi le idee.
Risposte
Per prima cosa puoi parlare di nucleo (o Kernel) e di immagine solo in presenza di un'applicazione e non in relazione a un insieme di vettori o a una matrice!
Sia $ f:V->W $ applicazione lineare;
1) il nucleo di un'applicazione è l'insieme dei vettori in $ V $ che vengono mandati nel vettore nullo, cioè $ Ker(f)={vin V|f(v)=0} $ ;
2) l'immagine è l'insieme dei vettori in $ W $ che sono immagine di almeno un vettore di $ V $ , cioè $ Im(f)={winW|EE vinV:f(v)=w} $.
Quindi come vedi Nucleo e immagine sono due cose completamente differenti.
L'immagine di un vettore lo trovi semplicemente applicando la funzione...
Es. Sia $ f:RR^2->RR^2|( ( x ),( y ) ) |-> ( ( x+y ),( x-2y ) ) $ applicazione; l'immagine di $ ( ( 2 ),( 1 ) ) $ è $ f(( ( 2 ),( 1 ) ) )=( ( 2+1 ),( 2-2(1) ) )=( ( 3 ),( 0 ) ) $ .
Sia $ f:V->W $ applicazione lineare;
1) il nucleo di un'applicazione è l'insieme dei vettori in $ V $ che vengono mandati nel vettore nullo, cioè $ Ker(f)={vin V|f(v)=0} $ ;
2) l'immagine è l'insieme dei vettori in $ W $ che sono immagine di almeno un vettore di $ V $ , cioè $ Im(f)={winW|EE vinV:f(v)=w} $.
Quindi come vedi Nucleo e immagine sono due cose completamente differenti.
L'immagine di un vettore lo trovi semplicemente applicando la funzione...
Es. Sia $ f:RR^2->RR^2|( ( x ),( y ) ) |-> ( ( x+y ),( x-2y ) ) $ applicazione; l'immagine di $ ( ( 2 ),( 1 ) ) $ è $ f(( ( 2 ),( 1 ) ) )=( ( 2+1 ),( 2-2(1) ) )=( ( 3 ),( 0 ) ) $ .
Innanzi tutto grazie mille per la risposta! Ma proprio in parole povere, come faccio a trovare il nucleo, l'immagine e la base? Lo span cos'è? E la dimensione del nucleo è il numero di vettori che compongono il nucleo?
Mentre per quanto riguarda l'immagine di un vettore come faccio a calcolarla se non ho l'applicazione lineare ma semplicemente il vettore?
Mentre per quanto riguarda l'immagine di un vettore come faccio a calcolarla se non ho l'applicazione lineare ma semplicemente il vettore?
Perché prima non studiare un poco la teoria? Mi sembra poco conveniente a livello di apprendimento fare esercizi, meccanicamente, senza avere la ben che minima idea di quello che si sta facendo.
Dalle domande che poni, dovresti approfondire la nozione di spazio finitamente generato e di dimensione. Comincia con le nozioni base di spazio vettoriale.. dopo, quando le hai afferrate, ti dedichi in qualcosa di più fine come le applicazioni Lineari.
Non è una paternale eh, è un consiglio.
Dalle domande che poni, dovresti approfondire la nozione di spazio finitamente generato e di dimensione. Comincia con le nozioni base di spazio vettoriale.. dopo, quando le hai afferrate, ti dedichi in qualcosa di più fine come le applicazioni Lineari.
Non è una paternale eh, è un consiglio.
Sono d'accordo con Kashaman, anche perché scriverei delle cose che trovi sicuramente sul tuo libro di Geometria.
Comunque la dimensione del nucleo è il numero di vettori della sua BASE e parlare di immagine senza un'applicazione non ha senso!
Comunque la dimensione del nucleo è il numero di vettori della sua BASE e parlare di immagine senza un'applicazione non ha senso!
Più precisamente, se $V$ è uno spazio vettoriale finitamente generato. Si dice che $dim_KV=n$.
$n$ è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che puoi pescare in $V$.
$n$ è il numero minimo di vettori che generano $V$.
$n$ è esattamente il numero di vettori di $V$ linearmente indipendenti che costituiscono una base per $V$.
$n$ è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che puoi pescare in $V$.
$n$ è il numero minimo di vettori che generano $V$.
$n$ è esattamente il numero di vettori di $V$ linearmente indipendenti che costituiscono una base per $V$.
Avete ragione dovrei studiare la teoria, purtroppo mi sono trovata in questa situazione in cui in seguito al cambio dell'ordinamento nel passaggio dalla triennale alla specialistica ho saltato l'esame di Geometria B, che tratta proprio questi argomenti di algebra lineare, quindi adesso mi sono ritrovata in pochissimo tempo a dover preparare un altro esame in cui però questi concetti sono dati per scontati. E' per questo che mi trovo in difficoltà ma purtroppo adesso non ho tempo sia per colmare le lacune che andare avanti con l'esame, sarà già un miracolo se riesco a finire il programma, anche se mi rendo conto che se capissi a fondo la teoria sarebbe molto più facile studiare tutto il resto.
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