Immagine e suriettività
Buongiorno a tutti!
Avrei qualche dubbio su questo esercizio.
Ho questa matrice:
$ A=| ( 8 , -2 , 2 , 0 ),( -2 , 5 , 4 , 0 ),( 2 , 4 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) | $
a) Sia f l'endomorfismo di $ R^4 $ associato ad A. Si trovino una base di ker(f) e una base di Im(f). Si dica qual'è la loro dimensione.
Facendo i vari calcoli ho trovato che:
ker(A)={x $ epsilon $ R, (x,2x,-2x,0)}
dim(kerA)=1
B: (1,2,-2,0)
dim(ImA)=3
$ A= | ( 8-lambda , -2 , 2 , 0 ),( -2 , 5-lambda , 4 , 0 ),( 2 , 4 , 5-lambda , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3-lambda ) | $
$ det(A)=-lambda(3-lambda)(lambda^2-18lambda+81) $
$ det(A)=0 -> lambda=0, lambda=3, lambda=9 $
Come trovo Im(f)?
b) Si dica se f è iniettiva e/o suriettiva
Come si fa a definirlo?
Grazie in anticipo
Avrei qualche dubbio su questo esercizio.
Ho questa matrice:
$ A=| ( 8 , -2 , 2 , 0 ),( -2 , 5 , 4 , 0 ),( 2 , 4 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) | $
a) Sia f l'endomorfismo di $ R^4 $ associato ad A. Si trovino una base di ker(f) e una base di Im(f). Si dica qual'è la loro dimensione.
Facendo i vari calcoli ho trovato che:
ker(A)={x $ epsilon $ R, (x,2x,-2x,0)}
dim(kerA)=1
B: (1,2,-2,0)
dim(ImA)=3
$ A= | ( 8-lambda , -2 , 2 , 0 ),( -2 , 5-lambda , 4 , 0 ),( 2 , 4 , 5-lambda , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3-lambda ) | $
$ det(A)=-lambda(3-lambda)(lambda^2-18lambda+81) $
$ det(A)=0 -> lambda=0, lambda=3, lambda=9 $
Come trovo Im(f)?
b) Si dica se f è iniettiva e/o suriettiva
Come si fa a definirlo?
Grazie in anticipo
Risposte
Il testo ti chiede di trovare il nucleo. Tu lo fai, e dopo calcoli gli autovalori: non capisco dove sia il senso.
La base del nucleo trovata è corretta. Per trovare la base dell'immagine devi estrarre $3$ (per nullità più rango) vettori linearmente indipendenti dalla matrice associata.
La base del nucleo trovata è corretta. Per trovare la base dell'immagine devi estrarre $3$ (per nullità più rango) vettori linearmente indipendenti dalla matrice associata.
Per l'iniettività e la suriettività è semplice: basta guardare il nucleo e l'immagine come sono fatti
Per trovare il nucleo devo usare la matrice di partenza o quella con $ lambda $ ?
Devi usare la matrice associata. La matrice "quella con $lambda$" è quella che si studia per trovare gli autovalori e altro non è che $A-lambdaI$
Ok, per trovare il nucleo devo rendere nulli tutti i valori al di sotto della diagonale principale (eliminazione gaussiana) giusto?
In seguito per trovare gli autovalori devo rendere nulli anche quelli sopra la diagonale principale?
In seguito per trovare gli autovalori devo rendere nulli anche quelli sopra la diagonale principale?
Per il nucleo puoi fare in modi diversi. Puoi ridurre a scala come dici oppure risolvere direttamente il sistema lineare $A*vecx=vec0$. Il vettore soluzione $vecx$ ti fornirà il nucleo dell'applicazione.
Per trovare gli autovalori il procedimento è questo, a partire dalla definizione:
$Avecv=lambdavecv$
$Avecv-lambdavecv=vec0$, da cui $(A-lambdaI)*v=vec0$. Per cui $v$ è soluzione non banale di tale sistema. Questo succede se e solo se $det(A-lambdaI)=0$
Si tratta quindi di trovare il nucleo dell'applicazione individuata dalla matrice $A-lambdaI$, che è quello che fai.
Per trovare gli autovalori il procedimento è questo, a partire dalla definizione:
$Avecv=lambdavecv$
$Avecv-lambdavecv=vec0$, da cui $(A-lambdaI)*v=vec0$. Per cui $v$ è soluzione non banale di tale sistema. Questo succede se e solo se $det(A-lambdaI)=0$
Si tratta quindi di trovare il nucleo dell'applicazione individuata dalla matrice $A-lambdaI$, che è quello che fai.
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