Immagine e nucleo sono in somma diretta?
Ciao a tutti, ho un dubbio al volo che non ricordo: immagine e nucleo di un'applicazione lineare sono in somma diretta? mi verrebbe da dire di sì ma non ne sono convinto...
Grazie
Grazie
Risposte
No. O meglio, non è detto. Potrebbero come non potrebbero.
Controesempio.
$f(e_1)=e_2$ ed $f(e_2)=0$
Il $ker$ è ovviamente $e_2$, ma anche l'immagine è $e_2$.
Controesempio.
$f(e_1)=e_2$ ed $f(e_2)=0$
Il $ker$ è ovviamente $e_2$, ma anche l'immagine è $e_2$.
grazie!
Apro e chiudo una parentesi.
La domanda, così com'è posta, non ha senso.
Ad esempio, l'applicazione [tex]$\varphi :\ \mathbb{R} \ni x \mapsto (x,2x) \in \mathbb{R}^2$[/tex] è lineare tra [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]; il nucleo [tex]$\text{Ker} \varphi$[/tex] è un sottospazio di [tex]$\mathbb{R}$[/tex], mentre l'immagine [tex]$\text{Im} \varphi$[/tex] è un sottospazio di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], quindi non ha alcun senso chiedersi se tali sottospazi sono in somma diretta.
Per dare una parvenza di senso alla questione, bisogna aggiungere che [tex]$\varphi$[/tex] è un endomorfismo di uno spazio vettoriale.
La domanda, così com'è posta, non ha senso.
Ad esempio, l'applicazione [tex]$\varphi :\ \mathbb{R} \ni x \mapsto (x,2x) \in \mathbb{R}^2$[/tex] è lineare tra [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]; il nucleo [tex]$\text{Ker} \varphi$[/tex] è un sottospazio di [tex]$\mathbb{R}$[/tex], mentre l'immagine [tex]$\text{Im} \varphi$[/tex] è un sottospazio di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], quindi non ha alcun senso chiedersi se tali sottospazi sono in somma diretta.
Per dare una parvenza di senso alla questione, bisogna aggiungere che [tex]$\varphi$[/tex] è un endomorfismo di uno spazio vettoriale.
LA somma diretta dei due è isomorfa al dominio dell'applicazione (in spazi vettoriali), ciò induce la regola di Grssmann sulle dimensioni degli spazi.
"gygabyte017":
Ciao a tutti, ho un dubbio al volo che non ricordo: immagine e nucleo di un'applicazione lineare sono in somma diretta? mi verrebbe da dire di sì ma non ne sono convinto...
Grazie
Ciao Sergiorgio! Come sai, di solito la somma diretta fra $U$ e $W$ si definisce quando $U$ e $W$ sono sottospazi di uno stesso spazio vettoriale $V$.
In questo senso, parlare di "somma diretta del nucleo e dell'immagine" è abbastanza improprio, in quanto, come ha ampiamente spiegato Gugo82, in generale i due non sono sottospazi dello stesso spazio vettoriale (a meno che non si tratti di un endomorfismo, ma questo non è detto a priori).
Forse la somma diretta a cui ti riferisci è quella "esterna", ovvero quella definita dal prodotto cartesiano dalle due strutture di spazio vettoriale, ovvero in questo modo: ($phi:V\to W$ applicazione lineare fra spazi vettoriali)
$"ker"phi \oplus "Im"phi={\ (v,w):\ v\in"ker"phi,\ w\in"Im"phi}$
$alpha(v,w)=(alpha u, alpha w),\ \ alpha\in K, u\in"ker"phi,\ w\in"Im"phi $.
Ma questo non è altro che il prodotto cartesiano di spazi vettoriali e, secondo me, è bene continuare a chiamarlo "prodotto cartesiano fra spazi vettoriali" e denotarlo con $"ker"phi\times"Im"phi$ per non confondere le idee, soprattutto di chi è agli inizi.
Detto questo, sono d'accordo con te. E' vero che $"ker"phi\times"Im"phi$ è isomorfo come spazio vettoriale a $V$.
In questo senso, parlare di "somma diretta del nucleo e dell'immagine" è abbastanza improprio, in quanto, come ha ampiamente spiegato Gugo82, in generale i due non sono sottospazi dello stesso spazio vettoriale (a meno che non si tratti di un endomorfismo, ma questo non è detto a priori).
Forse la somma diretta a cui ti riferisci è quella "esterna", ovvero quella definita dal prodotto cartesiano dalle due strutture di spazio vettoriale, ovvero in questo modo: ($phi:V\to W$ applicazione lineare fra spazi vettoriali)
$"ker"phi \oplus "Im"phi={\ (v,w):\ v\in"ker"phi,\ w\in"Im"phi}$
$alpha(v,w)=(alpha u, alpha w),\ \ alpha\in K, u\in"ker"phi,\ w\in"Im"phi $.
Ma questo non è altro che il prodotto cartesiano di spazi vettoriali e, secondo me, è bene continuare a chiamarlo "prodotto cartesiano fra spazi vettoriali" e denotarlo con $"ker"phi\times"Im"phi$ per non confondere le idee, soprattutto di chi è agli inizi.
Detto questo, sono d'accordo con te. E' vero che $"ker"phi\times"Im"phi$ è isomorfo come spazio vettoriale a $V$.
Ehm, io sono un vecchio categorista, e non rileggo i testi di studente da molto.
Si in effetti intendevo la somma "esterna" o prodotto, facendo notare che in tale prodotto i spazi diventano sottospazi, e tale prodotto ha anche la proprietà universale della somma (infatti andrebbe chiamato biprodotto nel senso che è prodotto e anche somma cioè coprodotto)
Pardon!
Si in effetti intendevo la somma "esterna" o prodotto, facendo notare che in tale prodotto i spazi diventano sottospazi, e tale prodotto ha anche la proprietà universale della somma (infatti andrebbe chiamato biprodotto nel senso che è prodotto e anche somma cioè coprodotto)
Pardon!
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