Immagine e matrice associata
Salve a tutti, e Buon Natale. Sul sito "****" viene affermata una cosa che a mio parere è errata, e ho un controesempio... da notare la parte in grassetto.
"L'immagine di un' applicazione lineare è data dallo Span dei vettori colonna di una sua matrice rappresentativa, e NON IMPORTA A QUALI BASI ESSA SIA RIFERITA".
Dunque, supponiamo di avere l'applicazione lineare da R a R2 F(X)=(3x, 2x) e di scrivere la matrice rappresentativa rispetto alle basi ( (2) ) e ( (6,0), (0,4) ), rispettivamente di R e R2.
F(V)=(6,4)= 1*(6,0)+1*(0,4)
Pertanto la matrice associata sarà costituita dal solo vettore colonna (lo metto in riga perché non so ancora scrivere le matrici) [1,1]. Benissimo, il problema è che esso non assolutamente un'immagine di quell'applicazione lineare, così come gli altri vettori dello spazio da lui generata, pertanto l'affermazione letta su **** è errata.
Questo è la fonte dove c'è l'affermazione "sotto accusa":
https://www.****.it/lezioni/algebra- ... agine.html
"L'immagine di un' applicazione lineare è data dallo Span dei vettori colonna di una sua matrice rappresentativa, e NON IMPORTA A QUALI BASI ESSA SIA RIFERITA".
Dunque, supponiamo di avere l'applicazione lineare da R a R2 F(X)=(3x, 2x) e di scrivere la matrice rappresentativa rispetto alle basi ( (2) ) e ( (6,0), (0,4) ), rispettivamente di R e R2.
F(V)=(6,4)= 1*(6,0)+1*(0,4)
Pertanto la matrice associata sarà costituita dal solo vettore colonna (lo metto in riga perché non so ancora scrivere le matrici) [1,1]. Benissimo, il problema è che esso non assolutamente un'immagine di quell'applicazione lineare, così come gli altri vettori dello spazio da lui generata, pertanto l'affermazione letta su **** è errata.
Questo è la fonte dove c'è l'affermazione "sotto accusa":
https://www.****.it/lezioni/algebra- ... agine.html
Risposte
$f: RR-> RR^2$
$f(x)=((3x),(2x))$
$mathcalA={2}, mathcalB={((6),(0)),((0),(4))}$. Calcolare $M_mathcal(BA)(f)$.
$[f(2)]_mathcalB=[((6),(4))]_mathcalB=((1),(1)), qquad M_mathcal(BA)(f)=((1),(1))$.
Non ci vedo nulla di sbagliato: $f$ l'hai definita facendo riferimento alle basi canoniche ed in seguito hai preso due basi a piacere. La matrice rispetto alle basi $mathcalA, B$ contiene in colonna le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalA$ rispetto alla base $mathcalB$. Quindi, se vuoi confrontare i due vettori nel codominio, devi riferili rispetto alla stessa base
$f(2)=6*((1),(0))+4*((0),(1))=1*((6),(0))+1*((0),(4))$
"Magma":$f: RR-> RR^2$
$f(x)=((3x),(2x))$
$mathcalA={2}, mathcalB={((6),(0)),((0),(4))}$. Calcolare $M_mathcal(BA)(f)$.
$[f(2)]_mathcalB=[((6),(4))]_mathcalB=((1),(1)), qquad M_mathcal(BA)(f)=((1),(1))$.
Non ci vedo nulla di sbagliato: $f$ l'hai definita facendo riferimento alle basi canoniche ed in seguito hai preso due basi a piacere. La matrice rispetto alle basi $mathcalA, B$ contiene in colonna le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalA$ rispetto alla base $mathcalB$. Quindi, se vuoi confrontare i due vettori nel codominio, devi riferili rispetto alla stessa base
$f(2)=((6),(4))=1*((6),(0))+1*((0),(4))$
Aspetta, con tutte queste lettere mi sto confondendo.
Come faccio a dimostrare che (1,1) appartiene all'immagine di quell'applicazione lineare rappresentata (rispetto a tali basi, non canoniche) da quella matrice? E ad esempio quali altri immagini potrei trovare secondo quelle basi?
La matrice $M_mathcal(BA)$ a dominio ha la base $mathcalA$, quindi tutti i vettori dovranno essere espressi come CL di $mathcalA$, pertanto
quindi
Un una scelta di base al dominio sarebbe potuta essere anche $mathcalC={1}$
Quindi
$[2]_mathcalA=1$
quindi
$f(1)=((1),(1)) (1)=((1),(1))$
Un una scelta di base al dominio sarebbe potuta essere anche $mathcalC={1}$
$[f(1)]_mathcalB=[((3),(2))]_mathcalB=((1/2),(1/2)) rArr M_mathcal(BC)(f)=((1/2),(1/2))$
Quindi
$f(2)=((1/2),(1/2)) (2)=((1),(1))$
"Magma":
La matrice $M_mathcal(BA)$ ha dominio ha la base $mathcalA$, quindi tutti i vettori dovranno essere espressi come CL di $mathcalA$, pertanto
$[2]_mathcalA=1$
quindi$f(1)=((1),(1)) (1)=((1),(1))$
Un una scelta di base al dominio sarebbe potuta essere anche la base $mathcalC={1}$
$[f(1)]_mathcalB=[((3),(2))]_mathcalB=((1/2),(1/2)) rArr M_mathcal(C,B)(f)=((1/2),(1/2))$
Quindi$f(2)=((1/2),(1/2)) (2)=((1),(1))$
Quindi in sintesi, posso dire che span(1,1) genera tutte e solo immagini di quell'omomorfismo, anche se non potrebbero mai essere ottenute dall' applicazione lineara rappresentata "per equazioni" ?
aggiungo un paio di cose
Per ogni applicazione lineare $L:V->W$ e per ogni coppia di basi $B_V={v_1,...,v_n}$ e $B_W={w_1,...,w_m}$ esiste un’unica matrice $A$ per cui valga l’uguaglianza
Dove $L_A:k^n->k^m$ è l’applicazione definita dalla matrice rappresentativa e le applicazioni $C_(B_V):k^n->V$ e $C_(B_W):k^m->W$ sono le applicazioni delle coordinate rispetto alle basi
A questo punto è chiaro che posto $X_j=C_(B_V)^(-1)(v_j)$ e $A^j=AX_j$ la $j-$esima colonna
Per com’è definita la applicazione delle coordinate
Il bello sta nel fatto che usi due isomorfismi quindi in sostanza $L,L_A$ godono delle stesse proprietà.
- sono entrambe isomorfismi
- sono entrambe iniettive
- sono entrambe suriettive
in poche parole ogni applicazione lineare tra spazi finito dimensionali è la stessa cosa di una applicazione definita da una matrice.
Quindi l’immagine è determinata dai vettori che hanno per coordinate le colonne della matrice $A^1,...,A^n$.
Per ora pensa a capire come funziona la baracca: per le questioni tecniche c’è tempo
Per ogni applicazione lineare $L:V->W$ e per ogni coppia di basi $B_V={v_1,...,v_n}$ e $B_W={w_1,...,w_m}$ esiste un’unica matrice $A$ per cui valga l’uguaglianza
$L=C_(B_W)circL_AcircC_(B_V)^(-1)$
Dove $L_A:k^n->k^m$ è l’applicazione definita dalla matrice rappresentativa e le applicazioni $C_(B_V):k^n->V$ e $C_(B_W):k^m->W$ sono le applicazioni delle coordinate rispetto alle basi
A questo punto è chiaro che posto $X_j=C_(B_V)^(-1)(v_j)$ e $A^j=AX_j$ la $j-$esima colonna
$L(V)=<>_(j=1,...,n) = << C_(B_W)(AX_j)>>_(j=1,...,n)= <>_(j=1,...,n)$
Per com’è definita la applicazione delle coordinate
$C_(B_W)(A^j)=a_(1j)w_1+a_(2j)w_2+...+a_(mj)w_m$
Il bello sta nel fatto che usi due isomorfismi quindi in sostanza $L,L_A$ godono delle stesse proprietà.
- sono entrambe isomorfismi
- sono entrambe iniettive
- sono entrambe suriettive
in poche parole ogni applicazione lineare tra spazi finito dimensionali è la stessa cosa di una applicazione definita da una matrice.
Quindi l’immagine è determinata dai vettori che hanno per coordinate le colonne della matrice $A^1,...,A^n$.
Per ora pensa a capire come funziona la baracca: per le questioni tecniche c’è tempo
Ho capito ciò che mi avete spiegato, però scrivere che la scelta delle basi non influisce nulla mi sembra alquanto semplicelistico, per non dire altro.
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