Immagine di una applicazione

[printException]

Salve, ho un problema con la seguente traccia

Si consideri l'applicazione lineare $f$ definita dalla matrice
$M=((1,1,-1),( -1,0,2 )) in RR$.
Si determini $f^(-1)(1,2)$.

Ho iniziato l'esercizio ponendo il sistema associato alla matrice ed eguagliando le equazioni a 1 e 2:

${(x+y-z=1), (-x+2z=2):}$
Risolvendo infine il sistema, dovrei ricavare ció che chiede la traccia.

Sono insicuro sul procedimento perché non mi è chiaro se è questo che mi si sta chiedendo.

[printException]

Grazie per la conferma

[Bokonon]

"arnett":È corretto: ti sta chiedendo quale/i vettori di $\RR^3$ sono tali che $f(v)=Mv=((1), (2))$.

Però è un po' più delicato. La soluzione che otterrebbe è $ t( ( 2 ),( -1 ),( 1 ) ) + ( ( -2 ),( 3 ),( 0 ) ) $ e questa è ok applicando f. Nella sostanza è la soluzione particolare + tutte le combinazioni di $ker(f)$
Ma ragionando su $f^(-1)$ andrebbe costruita la pseudoinversa e la $f^(-1)$ non può ricostruire il kernel, tutta l'informazione sul kernel finisce nell'origine dell'immagine.
La risposta corretta è solo $ ( ( -2 ),( 3 ),( 0 ) ) $ IMHO.

[Bokonon]

"arnett":Non ti seguo, cosa c'entra la pseudoinversa?

L'applicazione mappa tutti i punti di $R^3$ su un piano di $R^2$
A rigore, $f^(-1)$ non esiste perchè non è invertibile ed da intendersi come la controimmagine di un vettore di $R^2$. $f^(-1)$ si può solo costruire come pseudoinversa.

[Bokonon]

"arnett":Ma $f^-1$ starà a indicare la controimmagine, non l'inversa che appunto non esiste.

Solo ora ho notato che ho scritto male:

"Bokonon":[quote="arnett"]Non ti seguo, cosa c'entra la pseudoinversa?

L'applicazione mappa tutti i punti di $R^3$ su un piano di $R^2$
A rigore, $f^(-1)$ non esiste perchè non è invertibile ed da intendersi come la controimmagine di un vettore di $R^2$. $f^(-1)$ si può solo costruire come pseudoinversa.[/quote]
Intendevo scrivere:
L'applicazione mappa tutti i punti di $R^3$ su un piano di $R^2$
A rigore, $f^(-1)$ non esiste perchè non è invertibile e non è da intendersi come la controimmagine di un vettore di $R^2$. $f^(-1)$ si può solo costruire come pseudoinversa.

Insomma ne sto facendo (a ragione IMHO) una questione di notazione, perchè è ambigua.
Se si vuole usare la notazione $f^(-1)$ per indicare una controimmagine come in topologia (e non un'inversa), si deve specificare che ci riferisce ad un insieme (molto meglio comunque usare la notazione $f^(larr )$ IMHO).

Spero di non essere l'unico che vede due significati completamente diversi fra $f^(-1)(1,2)$ e $f^(-1)({(1,2)})$