Immagine di f sottoinsieme del nucleo
Salve a tutti
Apro un nuovo argomento per chiedervi una spiegazione riguardo questo esercizio d'esame di cui purtroppo non ho la soluzione e in internet di simile non c'è niente
In $R^3$ siano dati i vettori $ u=(1,-1,0), v=(0,-2,-1), w= (4,-1,1) $
Sia $f:R^3->R^3$ una funzione lineare tale che$ f(u)=w,f(v)=2w $ e $ Im(f) sub Ker(f) $
-Si scriva la matrice A di $f$ rispetto alla base canonica e si determini una base del nucleo di $f$
Allora il mio problema è questo:so che $dim Ker(f) + dim Im(f) =3$
un immagine vale $w$,l'altra vale $2w$ e quindi c'è una dipendenza fra di loro che mi fa intendere che la dimensione al momento sia 1
però cosa vuol dire che l'immagine è sottoinsieme del nucleo?se il nucleo è costituito dai vettori che mandano a 0,com'è possibile che una parte di questi vettori formi uno sottospazio che sarebbe $Imf$?
Spero di non aver scritto cavolate ma alcuni di questi esercizi mi mandano in palla anche sugli argomenti basilari
Grazie per qualunque tipo di risposta/interessamento
Apro un nuovo argomento per chiedervi una spiegazione riguardo questo esercizio d'esame di cui purtroppo non ho la soluzione e in internet di simile non c'è niente
In $R^3$ siano dati i vettori $ u=(1,-1,0), v=(0,-2,-1), w= (4,-1,1) $
Sia $f:R^3->R^3$ una funzione lineare tale che$ f(u)=w,f(v)=2w $ e $ Im(f) sub Ker(f) $
-Si scriva la matrice A di $f$ rispetto alla base canonica e si determini una base del nucleo di $f$
Allora il mio problema è questo:so che $dim Ker(f) + dim Im(f) =3$
un immagine vale $w$,l'altra vale $2w$ e quindi c'è una dipendenza fra di loro che mi fa intendere che la dimensione al momento sia 1
però cosa vuol dire che l'immagine è sottoinsieme del nucleo?se il nucleo è costituito dai vettori che mandano a 0,com'è possibile che una parte di questi vettori formi uno sottospazio che sarebbe $Imf$?
Spero di non aver scritto cavolate ma alcuni di questi esercizi mi mandano in palla anche sugli argomenti basilari
Grazie per qualunque tipo di risposta/interessamento
Risposte
io comincerei così:
\( \begin{cases} f(u)=w \\ f(v)=2w \end{cases} \)
per cui \( f(v)=2f(u) \Rightarrow f(v)-2f(u)=0 \).
Dalla linerità dell'applicazione segue che:
\( f(v-2u)=0 \)
\( v-2u=(-2,0,-1) \) è un vettore che appartiene al $ker(f)$.
\( \begin{cases} f(u)=w \\ f(v)=2w \end{cases} \)
per cui \( f(v)=2f(u) \Rightarrow f(v)-2f(u)=0 \).
Dalla linerità dell'applicazione segue che:
\( f(v-2u)=0 \)
\( v-2u=(-2,0,-1) \) è un vettore che appartiene al $ker(f)$.
"KiDMiO":é tardi ergo perdonami qualche errore, ricostruisci tramite le condizioni del tuo omomorfismo la base canonica \((e_1,e_2,e_3)\in \Bbb{R}^3\) usando i vettori \(u\),\(v\),\(w\) i quali sono linearmente indipendenti su \(\Bbb{R}\), poi calcola le coordinate (rispetto alla base canonica suppongo) delle immagini \(f(e_1),f(e_2),f(e_3) \in \Bbb{R}^3\) e nel mentre applicherai le condizioni di linearitá ergo ti servirá sicuramente l´immagine \(f(w)\) ma tu sai che $$f(u)=w \in \operatorname{im}(f)\subseteq \ker(f) \to w \in \ker(f) \to f(w)=0$$ continua tu..
In \(\Bbb{R}^3\) siano dati i vettori \(u=(1,-1,0)\), \( v=(0,-2,-1)\), \(w= (4,-1,1) \)
Sia \(f:\Bbb{R}^3\to \Bbb{R}^3\) una funzione lineare tale che \(f(u)=w,f(v)=2w\) e \(\operatorname{Im}(f) \subseteq \ker(f)\)
-Si scriva la matrice A di \(f\) rispetto alla base canonica e si determini una base del nucleo di \(f\)
Grazie mille ragazzi,appena posso provo e vi faccio sapere
La condizione di linearità mi ha illuminato!
La condizione di linearità mi ha illuminato!
per determinare la matrice associata a tale applicazione lineare devo sapere come vengono mappati $e_{1},e_{2},e_{3}$ tramite $\phi$.
Sapendo come la \phi agisce su $u,w,v$ e giocando sulla linearità, possiamo determinare anche le immagini dei vettori della base canonica.
notiamo che \( (1,0,0)= w-3u+v \) e pertanto sappiamo che \( \phi(1,0,0)= \phi(w-3u+v) \) \( \ldots \phi(w) - 3\phi(u)+ \phi(v) \) , che equivale al vettore \( 0-3w+2w=-w = (-4,1,-1) \) .
Quindi \( \phi(1,0,0) = (-4,1,-1) \)
procediamo analogamente per \phi(0,1,0) notando che \( \phi(0,1,0)= \phi(w-4u+v)...=-4\phi(u)+\phi(v)= -2w \)
$\phi(0,0,1)$= \( \phi(0,0,1)= \phi(w-4u-3e_{2})= 2w=(8,-2,2) \)
Possiamo scrivere la matrice \( \xi=\begin{bmatrix} -4 & -8 & 8 \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix} \)
e, calcolandone il rango vediamo subito che una sua base è:
\( <(-2,1,0),(2,0,1)> \) e pertando \( \dim \ker (\phi) = 2 \) e quindi \( \dim im (\phi) = 1 \) , verificando così anche l'ipotesi.
Sapendo come la \phi agisce su $u,w,v$ e giocando sulla linearità, possiamo determinare anche le immagini dei vettori della base canonica.
notiamo che \( (1,0,0)= w-3u+v \) e pertanto sappiamo che \( \phi(1,0,0)= \phi(w-3u+v) \) \( \ldots \phi(w) - 3\phi(u)+ \phi(v) \) , che equivale al vettore \( 0-3w+2w=-w = (-4,1,-1) \) .
Quindi \( \phi(1,0,0) = (-4,1,-1) \)
procediamo analogamente per \phi(0,1,0) notando che \( \phi(0,1,0)= \phi(w-4u+v)...=-4\phi(u)+\phi(v)= -2w \)
$\phi(0,0,1)$= \( \phi(0,0,1)= \phi(w-4u-3e_{2})= 2w=(8,-2,2) \)
Possiamo scrivere la matrice \( \xi=\begin{bmatrix} -4 & -8 & 8 \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix} \)
e, calcolandone il rango vediamo subito che una sua base è:
\( <(-2,1,0),(2,0,1)> \) e pertando \( \dim \ker (\phi) = 2 \) e quindi \( \dim im (\phi) = 1 \) , verificando così anche l'ipotesi.
[quote=feddy][/quote]
Grazie Mille feddy,l'esercizio l'ho risolto ancora prima e la matrice mi viene come la tua!
Mi sono inceppato a quell' immagine sottoinsieme del nucleo ma ora ho capito!
o anche qualche altro esercizio con dubbi ma al momento vedo se riesco a capirci qualcosa da solo (dato che mi rome aprire thread a oltranza)
Purtroppo sono temi d'esame senza soluzioni e ben più difficili dell'eserciziario
Grazie Mille feddy,l'esercizio l'ho risolto ancora prima e la matrice mi viene come la tua!
Mi sono inceppato a quell' immagine sottoinsieme del nucleo ma ora ho capito!
o anche qualche altro esercizio con dubbi ma al momento vedo se riesco a capirci qualcosa da solo (dato che mi rome aprire thread a oltranza)
Purtroppo sono temi d'esame senza soluzioni e ben più difficili dell'eserciziario
figurati 
Sapere che l'immagine era un sottoinsieme del nucleo permette di dire che $\phi(w)=0$.
come avevo scritto nella prima risposta, $v-2u = (-2,0,-1) \in ker(\phi)$ e infatti un elemento della base del nucleo è proprio uguale a $-(-2,0,-1)$.
Sapere che l'immagine era un sottoinsieme del nucleo permette di dire che $\phi(w)=0$.
come avevo scritto nella prima risposta, $v-2u = (-2,0,-1) \in ker(\phi)$ e infatti un elemento della base del nucleo è proprio uguale a $-(-2,0,-1)$.
o anche qualche altro esercizio con dubbi ma al momento vedo se riesco a capirci qualcosa da solo (dato che mi rome aprire thread a oltranza), beh se hai altri problemi, posta pure
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