Immagine applicazione lineare

[piergiorgiof1]

Salve a tutti,
ho avuto una difficoltà nel risolvere questo esercizio:

"Sia $f: RR^4 \to RR^3$ definita da $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2 , x_2-x_3 , x_1+x_3)$.
Determinare un'immagine e una sua base."

Usando la definizione di immagine ho impostato il seguente sistema:

$\{(x_1 + x_2 = a),(x_2 - x_3 = b),(x_1 + x_3 = c):}$

ottengo un sistema lineare che, per il teorema di Rouchè-Capelli, è compatibile solo se il rango della matrice completa è pari al rango della matrice incompleta:

$I=|(1,1,0),(0,1,-1),(1,0,1)|=0$

dunque il rango della matrice incompleta risulta due. Se il rango della completa sarà anche 2, il sistema sarà compatibile ed avrò $oo^1$ soluzioni.

$C=((1,1,0,a),(0,1,-1,b),(1,0,1,c))$

riducendo per righe per calcolarne il rango ottengo:

$C=((1,1,0,a),(0,1,-1,b),(0,0,0,c-a+b))$

dunque la matrice C ha rango 2 solo se c-a+b=0

Non capisco a questo punto come risolvere il sistema per ottenere l'immagine, cioè otterrei qualcosa del genere che non so come risolvere:

$\{(x_1 + x_2 = a),(x_2 - x_3 = b),(a=b+c):}$

Tra l'altro nella soluzione ho un vettore che ha dimensione due, quindi non mi corrispondono neanche le $oo^1$ soluzioni. Credo di aver fatto una gran confusione spero che qualcuno abbia la pazienza di aiutarmi. Grazie!

[stormy1]

per determinare $Imf$ è consigliabile calcolare le immagini dei vettori della base canonica:infatti,per la linearità dell'applicazione,i vettori immagine generano $Imf$

[piergiorgiof1]

potresti fare un esempio? credo di non aver capito, ho provato ma non mi coincide col risultato che è:

Im=<(1,1,0),(1,0,1)>

[stormy1]

infatti ,
$f(1,0,0,0)=(1,0,1)$
$f(0,1,0,0)=(1,1,0)$
$f(0,0,1,0)=(0,-1,1)$
$f(0,0,0,1)=(0,0,0,0)$
i primi 2 vettori immagine generano gli altri 2

[piergiorgiof1]

mi sento uno scemo grazie.