Immagine

[kika_17]

Ciao a tutti, scusate il disturbo, qualcuno può aiutarmi con questo esercizio? grazie mille

Sia $F = { f: RR^4 -> RR^3 $lineare con$ f((2),(1),(1),(0)) = f((1),(0),(1),(0)) = f((4),(1),(3),(0)) = f((0),(0),(0),(1)) }$

1) Discutere la dim(Im$f$) al variare di $f$ in $F$;

2)Dire se $F$ è uno spazio vettoriale e in caso affermativo trovarne la dimensione.
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Ho pensato di fare:

$A = ((2,1,4,0),(1,0,1,0),(1,1,3,0),(0,0,0,1))$

il rango di tale matrice è 3, ma non capisco come possa variare la dimensione dell'immagine al variare di f... in che senso "f varia"?

[Sk_Anonymous]

Ciao.

La procedura che hai adottato è chiaramente errata; infatti la matrice $A$, associata ad un'applicazione lineare $f$ come quella da te trattata, deve avere 3 righe e 4 colonne:

$A=((a_11,a_12,a_13,a_14),(a_21,a_22,a_23,a_24),(a_31,a_32,a_33,a_34))$

Devi richiedere, fissando un vettore colonna $vec n=((n_1),(n_2),(n_2))$ di termini noti, le seguenti condizioni:

$A*((2),(1),(1),(0))=vec n$
$A*((1),(0),(1),(0))=vec n$
$A*((4),(1),(3),(0))=vec n$
$A*((0),(0),(0),(1))=vec n$

Da qui dovresti trovare la matrice $A$, con coefficienti dipendenti, però, da $n_1$, $n_2$, $n_3$.

A questo punto dovrai vedere come cambia $rk(A)$ in funzione di $n_1$, $n_2$, $n_3$.

Spero di essere stato utile.
Saluti.