Imf, Kerf, autovettori e autovalori, semplicità di un endomorfismo
Buongiorno ragazzi, ho un problema per quanto riguarda trovare Imf, Kerf, autovettori e autovalori, semplicità di un endomorfismo. Ho la seguente matrice:
$ ( ( h , h , 1 ),( -1 , 0 , 1 ),( 2 , h , 1 ) ) $
il testo dell'esercizio mi chiede di trovare Imf, Kerf, ed eventuali autovettori e autovalori, e calcolare la semplicità. Ho calcolato il determinante, e so che devo studiare la matrice per $h = 0$ e $h = 2$. Spero in qualche anima pia che mi aiuti
Ringrazio tutti anticipatamente 
$ ( ( h , h , 1 ),( -1 , 0 , 1 ),( 2 , h , 1 ) ) $
il testo dell'esercizio mi chiede di trovare Imf, Kerf, ed eventuali autovettori e autovalori, e calcolare la semplicità. Ho calcolato il determinante, e so che devo studiare la matrice per $h = 0$ e $h = 2$. Spero in qualche anima pia che mi aiuti
Ringrazio tutti anticipatamente
Risposte
Ciao, prendiamo la matrice $$A=\begin{bmatrix}h&h&1\\-1&0&1\\2&h&1\end{bmatrix}$$ Se $h != 0,2$ il determinante della matrice è diverso da zero, quindi il rango della matrice è pari a tre, quindi l'immagine dell'endomorfismo coincide con $RR^3$ e il kernel con il solo vettore nullo.
Consideriamo il caso $h=0$. La matrice diventa $$A_{0}\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&1\\2&0&1\end{bmatrix}$$ il cui rango è $2$. L'immagine sarà data dallo span delle colonne linearmente indipendenti, cioè la prima e la terza. Il kernel avrà quindi dimensione $3-2=1$ e sarà ovviamente $$\text{Ker }\mathcal{E} = \text{Im}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$$ Passiamo agli autovalori. Scriviamo la matrice $$A_{0}-\lambda I = \begin{bmatrix}-\lambda&0&1\\-1&-\lambda&1\\2&0&1-\lambda\end{bmatrix}$$ il cui determinante (conviene sviluppare lungo la seconda colonna) è $$-\lambda\left[\lambda\left(\lambda-1\right)-2\right]$$ Dobbiamo quindi risolvere $$-\lambda\left(\lambda^2-\lambda-2\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda\left(\lambda+1\right)\left(\lambda-2\right)=0$$ Gli autovalori sono quindi $$\lambda_1 = 0 \qquad \lambda_2 = -1 \qquad \lambda_3 = 2$$ Tutti e tre hanno molteplicità algebrica pari a $1$ e sono per forza regolari. Ne segue che l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Ora si passa al calcolo degli autovettori:
$\lambda=0$: dobbiamo trovare il $$\text{Ker}\left[A-0I\right] = \text{Ker}\left[A\right] = \ldots$$
$\lambda = -1$: dobbiamo trovare il $$\text{Ker}\left[A+I\right] = \ldots$$
$\lambda = 2$: dobbiamo trovare il ...
Poi si ripete lo stesso procedimento per $h=2$.
Consideriamo il caso $h=0$. La matrice diventa $$A_{0}\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&1\\2&0&1\end{bmatrix}$$ il cui rango è $2$. L'immagine sarà data dallo span delle colonne linearmente indipendenti, cioè la prima e la terza. Il kernel avrà quindi dimensione $3-2=1$ e sarà ovviamente $$\text{Ker }\mathcal{E} = \text{Im}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$$ Passiamo agli autovalori. Scriviamo la matrice $$A_{0}-\lambda I = \begin{bmatrix}-\lambda&0&1\\-1&-\lambda&1\\2&0&1-\lambda\end{bmatrix}$$ il cui determinante (conviene sviluppare lungo la seconda colonna) è $$-\lambda\left[\lambda\left(\lambda-1\right)-2\right]$$ Dobbiamo quindi risolvere $$-\lambda\left(\lambda^2-\lambda-2\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda\left(\lambda+1\right)\left(\lambda-2\right)=0$$ Gli autovalori sono quindi $$\lambda_1 = 0 \qquad \lambda_2 = -1 \qquad \lambda_3 = 2$$ Tutti e tre hanno molteplicità algebrica pari a $1$ e sono per forza regolari. Ne segue che l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Ora si passa al calcolo degli autovettori:
$\lambda=0$: dobbiamo trovare il $$\text{Ker}\left[A-0I\right] = \text{Ker}\left[A\right] = \ldots$$
$\lambda = -1$: dobbiamo trovare il $$\text{Ker}\left[A+I\right] = \ldots$$
$\lambda = 2$: dobbiamo trovare il ...
Poi si ripete lo stesso procedimento per $h=2$.
"minomic":
Consideriamo il caso $h=0$. La matrice diventa $$A_{0}\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&1\\2&0&1\end{bmatrix}$$ il cui rango è $2$. L'immagine sarà data dallo span delle colonne linearmente indipendenti, cioè la prima e la terza. Il kernel avrà quindi dimensione $3-2=1$ e sarà ovviamente $$\text{Ker }\mathcal{E} = \text{Im}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$$.
Ciao innanzitutto grazie per la spiegazione davvero chiara.. una cosa però.. non capisco perché :
$$\text{Ker }\mathcal{E} = \text{Im}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$$
potresti spiegarti meglio per favore? Grazie mille!
Perché devi trovare una combinazione delle colonne che ti dia il vettore nullo. Qui la seconda colonna è già di per se nulla, quindi ti basta prenderla! Infatti quel vettore ha $1$ in seconda posizione. Altrimenti, se non ti trovi con questi metodi brevi (che però sono utilissimi), puoi sempre risolvere il sistema lineare omogeneo $$A_{0}x = \textbf{0}$$
"minomic":
Perché devi trovare una combinazione delle colonne che ti dia il vettore nullo. Qui la seconda colonna è già di per se nulla, quindi ti basta prenderla! Infatti quel vettore ha $1$ in seconda posizione.
Quindi basta che trovo la combinazione delle colonne che dia il vettore nullo, e poi inserisco un $1$ per esempio nella seconda posizione e ho trovato il vettore che coincide col kernel?
potresti gentilmente spiegarmi questi passaggi xD ?
il cui determinante (conviene sviluppare lungo la seconda colonna) è
$−λ[λ(λ−1)−2]$
Dobbiamo quindi risolvere
$−λ(λ2−λ−2)=0⇒λ(λ+1)(λ−2)=0$
Gli autovalori sono quindi
"giupar93":[/quote]
[quote="minomic"]Quindi basta che trovo la combinazione delle colonne che dia il vettore nullo
Esatto. Altrimenti puoi sempre risolvere il sistema (dato che non sempre si vede a occhio qual è la giusta combinazione delle colonne).
"minomic":[/quote]
[quote="giupar93"][quote="minomic"]Quindi basta che trovo la combinazione delle colonne che dia il vettore nullo
Esatto. Altrimenti puoi sempre risolvere il sistema (dato che non sempre si vede a occhio qual è la giusta combinazione delle colonne).[/quote]
Ok, grazie mille potresti per favore spiegarmi il mio ultimo post che ho modificato xD?
Certo. Sai che gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, quindi sono le soluzioni dell'equazione $$\det\left[A-\lambda I\right] = 0$$ ed è proprio quello che ho fatto. Ho trovato quel determinante e l'ho posto uguale a $0$, poi ho svolto la parentesi e infine l'ho fattorizzato per mettere meglio in evidenza le soluzioni.
"minomic":
Certo. Sai che gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, quindi sono le soluzioni dell'equazione $$\det\left[A-\lambda I\right] = 0$$ ed è proprio quello che ho fatto. Ho trovato quel determinante e l'ho posto uguale a $0$, poi ho svolto la parentesi e infine l'ho fattorizzato per mettere meglio in evidenza le soluzioni.
sisi..ok grazie mille.. ultimissimissima cosa xD.
Sto calcolando gli autovettori nel caso di $ lambda = 0 $ :
mi hai detto che in:
$λ=0: Ker[A−0I]=Ker[A]=…$
ho risolto il sistema \[ A_{0}x = \textbf{0} \]
e ho trovato $x1 = -2/3$ ,$x2 = 2/h$, $x3 = -2/3$
posso dire che : $Ker: | ( -2/3 ),( -2/3 ),( 2/h ) | $
Grazie mille
Non ho fatto il calcolo ma avevamo posto $h=0$ e questo mi fa sospettare che il tuo $2/h$ sia sbagliato.
xD quindi mi stai dicendo che quando risolvo il sistema $A0x=0$ devo trasformare eventuali parametri nel caso in cui siamo..quindi in questo caso dato che siamo nel caso $h = 0$ tutte le $h$ nella nostra matrice devono essere messe $0$. Ok grazie sono stato stupido io a non accorgermene
"giupar93":
quindi in questo caso dato che siamo nel caso $h = 0$ tutte le $h$ nella nostra matrice devono essere messe $0$.
Eh già...
Di nuovo grazie 
Prego! Se hai altri problemi facci sapere.
ri eccomi qua..vorrei sapere se ho capito il ragionamento nel momento in cui dobbiamo trovare gli autovettori, allora:
$lambda = 0 :$ si risolve il seguente sistema:
$ ( ( 0 , 0 , 1 ),(-1 , 0 , 1 ),(2 , 0 , 1 ) ) * ((x1),(x2),(x3)) = ((0),(0),(0)) $
$lambda = -1 :$ si risolve il seguente sistema:
$ ( ( 1 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 1 ),( 2 , 0 , 2 ) ) * ((x1),(x2),(x3)) = ((0),(0),(0)) $
$lambda = 2 :$ si risolve il seguente sistema:
$ ( ( -2 , 0 , 1 ),( -1 , -2 , 1 ),( 2 , 0 , 1 ) ) * ((x1),(x2),(x3)) = ((0),(0),(0)) $
giusto?
P.S ho provato nel caso di $lambda = -1 :$ a risolvere il sistema, ma nel secondo passaggio la variabile $x3$ si va ad annullare, dopo che impongo $x1 = -x3$ può essere?
$lambda = 0 :$ si risolve il seguente sistema:
$ ( ( 0 , 0 , 1 ),(-1 , 0 , 1 ),(2 , 0 , 1 ) ) * ((x1),(x2),(x3)) = ((0),(0),(0)) $
$lambda = -1 :$ si risolve il seguente sistema:
$ ( ( 1 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 1 ),( 2 , 0 , 2 ) ) * ((x1),(x2),(x3)) = ((0),(0),(0)) $
$lambda = 2 :$ si risolve il seguente sistema:
$ ( ( -2 , 0 , 1 ),( -1 , -2 , 1 ),( 2 , 0 , 1 ) ) * ((x1),(x2),(x3)) = ((0),(0),(0)) $
giusto?
P.S ho provato nel caso di $lambda = -1 :$ a risolvere il sistema, ma nel secondo passaggio la variabile $x3$ si va ad annullare, dopo che impongo $x1 = -x3$ può essere?
Mi sembra tutto giusto tranne il valore $(3,3)$ della terza matrice che deve essere $-1$ e non $1$.
Per quanto riguarda il secondo sistema si vede "a occhio" (anche se serve un po' di allenamento) che la soluzione è data dall'immagine del vettore $[(-1),(-2),(1)]$. Ti spiego il ragionamento che ho fatto: per fare il vettore nullo posso cominciare prendendo la terza colonna e sottraendole la prima: ottengo $[(0),(2),(0)]$. A questo punto tolgo il doppio della seconda colonna e arrivo al vettore nullo. Quindi cosa abbiamo fatto? La terza meno la prima meno due volte la seconda: questo corrisponde al vettore $[(-1),(-2),(1)]$.
Per quanto riguarda il secondo sistema si vede "a occhio" (anche se serve un po' di allenamento) che la soluzione è data dall'immagine del vettore $[(-1),(-2),(1)]$. Ti spiego il ragionamento che ho fatto: per fare il vettore nullo posso cominciare prendendo la terza colonna e sottraendole la prima: ottengo $[(0),(2),(0)]$. A questo punto tolgo il doppio della seconda colonna e arrivo al vettore nullo. Quindi cosa abbiamo fatto? La terza meno la prima meno due volte la seconda: questo corrisponde al vettore $[(-1),(-2),(1)]$.
scusami, ho capito il tuo ragionamento, ma non riesco a capire perché il ragionamento da te fatto, corrisponde al vettore $-1, -2, 1$, cioè da dove te lo tiri fuori ? 
Abbiamo detto che prendiamo la terza colonna ($1$ in terza posizione), togliamo la prima ($-1$ in prima posizione) e togliamo il doppio della seconda ($-2$ in seconda posizione).
"minomic":
Abbiamo detto che prendiamo la terza colonna ($1$ in terza posizione), togliamo la prima ($-1$ in prima posizione) e togliamo il doppio della seconda ($-2$ in seconda posizione).
aaaaaah
ho capito xD grazie mille!! ahahah
Prego!
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